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伽马函数的直观理解与重要结论
原创 FishBao 鱼包的研究笔记 2025 年 06 月 13 日 20:08 上海
Γ 函数中文音译为伽马函数(Gamma Function)是许多概率分布的数学基础,如:伽马分布(Gamma Distribution)、贝塔分布(Beta Distribution)、狄利克雷分布(Dirichlet Distribution)、卡方分布(Chi-squared Distribution)、学生 t-分布(Student's t-distribution)、F 分布(F-distribution)等。而这些概率分布又被广泛应用于假设检验(Hypothesis Testing)、贝叶斯推断(Bayesian Inference)、随机过程(Stochastic Processes)以及变分推断(Variational Inference)等领域中,在金融建模、风险度量及策略优化中扮演着不可替代的角色。因此,理解伽马函数对量化交易的策略开发人员至关重要,本文简要梳理伽马函数的来源、定义、性质和应用,由于主要关注伽马函数在实际问题中的应用,故以直观理解为主,忽略繁琐的数学推导和证明过程。
来源
伽马函数最初的提出,是为了将阶乘推广到实数域。人类自有数学以来就认识到了正整数上的阶乘的概念,举例来说,4 的阶乘就是 4×3×2×1=24 ,3 的阶乘就是 3×2×1=6 ,2 的阶乘就是 2×1=2 ,1 的阶乘就是它本身。数学上用一个感叹号“ ! ”来表示阶乘运算,将 4 的阶乘表示为 4! ,对任何大于 1 的正整数 n :
为了数学体系的逻辑自洽性和实际应用的需要,人们将 0 的阶乘定义为 1 。因为当 0!=1 时,可以使上面的递推式在 n=1 处依然成立:
定义 0 的阶乘后,人们希望能用一个函数 Γ 来表示上述的阶乘关系,也就是说这个函数 Γ 满足递推式:
并且在各个正整数点上的函数值能和阶乘的值对应上
这样便能将阶乘从正整数推广到实数域。
定义
数学家们一直在寻找,怎样的函数能够平滑地连接这些点,并满足阶乘的递推式
然而,这样的函数并不是非常好找,很长时间数学家们都没能找到这种能够在实数域上表示 x! 的连续函数。
直到 18 世纪,欧拉发现了 Γ 函数,至于欧拉是怎么想出这个函数来的思考过程,他并未详细解释,直接给出了函数的表达式:
这里用字母 s 表示 Γ 函数的自变量,x 用作了右边积分的积分变量。等式右端的这个积分是一个积分区间为(0,+∞)上的反常积分,可证该积分始终收敛,并且函数在定义域(0,+∞)上连续(证明略)。
接下来验证该函数是不是满足要求,首先求 Γ(1)
应用分部积分法,可得 Γ(s+1) :
从 Γ(1)=1 开始,应用上述递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s) 可得:
对任何正整数 n ,都有:
同时,对任意实数 s>0 ,都有:
综上,Γ 函数是一个完美的对阶乘的推广,将阶乘的概念从正整数成功推广到了正实数域。
性质
上面的讨论大致描述出了 Γ 函数在 [1, +∞)上的函数性质,接下来讨论函数在区间 (0, 1) 上的情况。
首先,当 s→0+ 时,Γ(s)→+∞ :
当自变量 s 落在区间 (0, 1) 上时,有下式成立:
这个公式称为余元公式,证明略。
分析至此,可以画出 Γ 函数的形状:
此外还有一条重要性质,Γ 函数在定义域(0,+∞)上是凸函数,并且其对数 ln Γ(s) 也是凸函数(证明略),由 Bohr-Mollerup 定理可知,对数凸性决定了 Γ 函数是唯一的阶乘在正实数域上的扩展(证明略)。
应用
Γ 函数可以用来求积分。
将 s=1/2 代入余元公式可得:
在被积式中作代换 x=u^2 ,可得:
如果作变量代换 t=2s-1 ,有:
上式左端是实际应用中常见的积分,它的值可以通过右端的 Γ 函数计算出来。
当 t=0 ,则有:
上式左端的积分是在概率论中的常用积分,常规求法并不是很好求,而用 Γ 函数在 1/2 处的值可以求出来。
在各种需要把定义在离散的整数域上的概念,推广到连续的实数域时,常引入 Γ 函数。比如统计学中的三大抽样分布:卡方分布(Chi-squared Distribution)、学生 t-分布(Student's t-distribution)和 F 分布(F-distribution),在自由度取正整数时给出定义,当求解概率密度函数(Probability Density Function,PDF)时需要将自由度从整数域推广到连续的实数域,所以引入 Γ 函数。(详见概率论与统计学相关教材)又比如在分数阶微积分(Fractional Calculus)中,要将定义在整数上的导数概念,如 1 阶导数、2 阶导数等,推广到任意实数,如求解函数的 1.2 阶导数时,引入 Γ 函数来定义分数阶微积分的表达式。(详见分数阶微积分相关教材)
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