欧拉的发现：素数和音乐之间的神秘联系

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欧拉的发现：素数和音乐之间的神秘联系

原创 蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 07 月 06 日 12:13  浙江

素数是不能再被分解的数，是数字世界的原子，但它的分布规律难以捉摸，让数学家们望而生畏。

音乐是时间的艺术，能带来情感的共鸣。

这两者似乎风马牛不相及，然而在三百年前，大数学家欧拉（Leonhard Euler）却发现了素数与音乐之间的神秘联系。更令他始料未及的是，这一切后来竟然发展出了一个世纪难题，困扰了人类近两百年，至今都未能解决。


莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler

关于音乐与数学的关系，要追溯到两千年前的古希腊，毕达哥拉斯最先发现了两者之间的基本联系。

他们在瓮中装满水，用锤子敲出乐音。当将水倒掉一半，剩下 1/2 时，再敲击，则音升高了八度；再多倒一些，剩下 1/3 时，会产生一个五度音；再倒掉一些水，仅剩下 1/4 ，这些音与最初的音都很和谐，而在其他水量时敲出的音并没有这样的效果。



毕达哥拉斯学派秉持着“万物皆数”的信念，认为分数有着某种可以被听见的美。

很自然地，他们就对1，1/2，1/3，1/4，……这样的数学产生了兴趣，而这些无穷项之和，又被称为调和级数（Harmonic Series）。



欧拉则更进一步，提出了 ζ 函数。



当 s=1 时，就是调和级数，欧拉发现它是发散的，虽然非常非常的缓慢，哪怕算到地老天荒，加了前 10^43 项，函数值都没有超过 100 ，但它最终还是会趋向于无穷大。



但只要 s>1 ，ζ(s) 就变得收敛了，特别当 x=2 时，就是全体正整数平方的倒数和，一个结构极其简洁，却困扰了数学家近 90 年的问题（1644 年提出，直到 1735 年才解决）。

直到欧拉运用泰勒公式和独特的构造技巧，得到了一个不可思议的结果：π^2/6 。



为了纪念欧拉的贡献，这个问题就以欧拉的故乡来命名，称为“巴塞尔问题”（1735 年）。

欧拉没有止步于此，他相信，素数就藏于某种美妙的音符组合背后。之后，他发现了一个更神奇的结构（1737 年，欧拉乘积公式）。

ζ(s) 原本是和的形式，但却能巧妙地转变成为积的形式，而其关键就在于素数。

他发现 ζ(s) 可以写成所有素数倒数构成的等比数列相乘的形式。

也即：



将等式右侧展开，将会得到所有素数 s 次方的任意次方乘积。

因为每一个大于 1 的正整数都能分解成素数乘积的形式，这也就意味着全体正整数的 s 次方都能在这个展开式中被找到，没有遗漏也不会重复。



比如 1/20^s，可以分解成：1/20^s=(1/2^s)×(1/2^s)×(1/5^s)，只要在第一个包含素数 2 的括号中选择二次方项，在

第三个包含素数 5 的括号中选择一次方项，其余素数括号内均选择 1 ，其乘积就是 1/20^s ，而且仅此一种方式。



等式右侧每一个括号内都是一个等比数列，而且具有收敛性，可以求得极限。



所以 ζ(s) 摇身一变，就成了与全体素数倒数相关的乘积形式。



其中 P1，P2，P3，P4，… Pn 是从小到大的素数。

这就是欧拉乘积公式：



数学家们从音乐的和谐，关注到了调和级数，进而提出了 ζ(s) 函数，然后欧拉解决了巴塞尔问题，又发现 ζ 函数和的形式可以转变为乘积形式，而这个乘积又与全体素数有关。

然而令欧拉始料未及的是，他的这一奇妙想法，竟然与高斯对素数分布的猜测产生了联系。在一百二十年后（1859 年），另一位数学家在试图解决高斯提出的素数猜想时，发现 ζ 函数和欧拉乘积公式竟然是关键所在，他将复数代入 ζ 函数内，提出了一个更惊人的想法，并从此困扰了数学界近两百年，时至今日都未能解决。这个人就是黎曼。

素数问题将欧拉、高斯和黎曼这三位史上最顶级的数学家，神奇地联系在了一起，他们奏响的悠扬旋律，一直回响至今。

蔡爸谈数学

ysr

欧拉乘积公式竟然是这么推导和发现的，有趣且伟大，应当好好研究一下！数学简直是解开宇宙奥秘的钥匙，桥梁和工具！