微分几何的发展简史

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微分几何的发展简史

原创  尚万只老虎  2025 年 07 月 06 日 08:09  广东

本文摘自苏步青、胡和生等著《微分几何》（高等教育出版社，1979）附录三《微分几何的发展简史》

微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。

在我们开始进入微分几何这个领域时，了解一些微分几何的发展历史和最新的动态是很有必要的。这里，我们着重介绍与本教材内容有关的经典微分几何学部分的发展历史。


莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）

经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质。在微分几何发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是 L.Euler（1707-1783）。他在 1736 年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是 Euler 的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他（与 Jean Bemouli（1667-1748）和 Daniel Bernoulli（1700-1782）一起）在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。又在物理问题的推动下，1736 年他证明了：在无外力作用的情况下，一个质量如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。


加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge，1746~1818）

另一个历史人物是 G. Monge（1746-1818），在筑城垒这个实际问题的推动下，他 1771 年开始写了关于空间曲线论的论文，发表于 1785 年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴趣。Monge 写了第一本微分几何课本，1807 年出版，这课本共印了五版，一直发行到 Monge 逝世后三十年，足见该书在当时的重要作用。Monge 受到纪念不单是由于他本人的贡献，而且还是由于他培养了一批优秀的学生，如 P. Laplace（1749-1827）、J. Meusnier（1754-1793）, J. Fourier（1768-1830）, M. Lancret（1774-1807）, A. Ampère （1775-1836）, S. Poisson （1781—1840）, C. Dupin（1784—1873）等。Monge 学派的工作，今天来说是难懂的，因为他们完全不用解析的方法，而只是用无穷小来进行思索与研究。虽然 Euler 在逝世之前研究空间曲线时已引进了解析的方法，但是在 25 年后 Monge 的课本中却并未利用它，直到极限论的奠基人之一 A.Cauchy（1789-1857）才第一个将曲率与挠率如同我们今日一样用有限量来表示。

F. Frenet（1816-1900）与 J. Serret（1819-1885）分别于 1847 年和 1851 年独立地得出现在通称的 Frenet-Serret 方程（或 Frenet 方程）后，空间曲线论才最后统一起来，而在这以前的空间曲线论是不漂亮的。可惜的是他们的工作出现时并未受到足够的重视，原因之一是那时缺乏我们现在已广泛应用的线性代数语言。例如，他们不去计算法线关于弧长的导数，而去计算法线的方向余弦的导数。在力学理论的推动下，G. Darboux（1842-1917）首先创造了以活动标架概念来统一曲线理论，后来 E.Cartan（1869-1951）深有远见地将活动标架法发展到流形理论中去，作出了极有价值的贡献。


卡尔·弗雷德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855）

C.F.Gauss（1777-1855）的贡献见于 1827 年他的《弯曲曲面的一般研究》一文。他在微分几何方面的重要贡献，不仅在于他证明了许多惊人的新结果，更重要的是他致力于微分几何全新的探讨，具有非凡的洞察力，抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了 150 年历史之久，Gauss 建立了由第一基本形式所决定的曲面的内在几何，这是有深远的意义的。Euler 已经知道，一个曲面可以用两个变量的参数形式来表示，但是 Gauss 强调曲面必须用这种形式来描述的重要性，这在理论上比把曲面看作 E^3 中坐标满足某个条件的点集来得深刻而有发展前途。球面映照在 Euler 时已经知道，Gauss 把它放在他著书中所定义的第一个概念并给予重要的应用。Rodrigues 更早发现曲面的面积及球面上对应区域面积之比，但 Gauss 却是真正的第一个认识到这个极限的重要性，并利用它表示曲面在一点的曲率。

Gauss 之前的几何学者将曲面主要看成无穷条曲线所构成，Gauss 则把曲面本身看作一个整体。我们注意到计算曲面曲率的两种方法：一种是外在的，即找出主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是 Euler 的研究；第二种方法是内在的，即由曲面的第一基本形式确定曲面的曲率，这是 Gauss 著名的研究。这两者之间有着深奥的差异，Gauss 在他的论著 Theorema Egregium 中阐明了这点，他说：“如果一个弯曲的曲面可以展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的（这里‘可展’表示映射是 1-1 的、到上的、且保持距离的）.”显然 Gauss 的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前推进，但那时并未被人们所认识.


波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826~1866）

直到 B.Riemann（1826-1866）才进一步发展了 Gauss 的内在几何学，1854 年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann 将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann 以前的几何学家们把黎曼测度（诱导测度）放到 E^3 的曲面上，而并未认识到它是外加的结构。Riemann 意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi- Civita 等人进一步丰富了经典的黎曼几何。


埃利·约瑟夫·嘉当（EIie Joseph Cartan，1869~1951）

20 世纪二三十年代 E.Cartan 开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，并且由此发展了线性联络及纤维丛理论方面的研究。随着 60 年代大范围分析的发展，偏微分方程（特别是微分算子的理论）、多复变函数论等学科的一些最新成就也进入到微分几何之中。

从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维丛理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具。微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、Atiyah-Singer 指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义，这是一个值得注意的动向，它必然进一步推进微分几何的向前发展。



尚万只老虎

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