数学世界的大卫王：“笨孩子”希尔伯特

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数学世界的大卫王：“笨孩子”希尔伯特

原创  Libra Cyan  物理天平  2025 年 07 月 12 日 00:03  加拿大



童年家庭教育：严谨环境与文化熏陶

大卫·希尔伯特于 1862 年出生在东普鲁士柯尼斯堡一个普通却重视教育的家庭。父亲奥托是一位县法官，为人严格而有规律，据记载他生活中循规蹈矩，每天都走同一条路，一年只在全家度假时才离开柯尼斯堡。这种高度结构化的生活方式为希尔伯特营造了严谨守序的成长环境。希尔伯特的母亲玛丽亚出身商人之家，却酷爱哲学、天文学，并对素数颇感兴趣。在这样的家庭氛围中，年幼的希尔伯特既受到父亲倡导的普鲁士式诚实勤奋价值观熏陶，也从母亲那里感受到对知识的好奇和文化的滋养。例如，母亲热爱康德哲学和仰望星空，每年都会在哲学家康德生日时带着小希尔伯特前往柯尼斯堡大教堂，瞻仰康德的雕像，并一字一句诵读墙上的康德名言：“世上最奇妙的是我头上的灿烂星空和我内心的道德准则。”在这类特殊的文化刺激下，希尔伯特从小见证了思想的深邃魅力，尽管当时的他还不懂未来数学的星空将如何任由他翱翔。可以说，希尔伯特的童年教育在严格规范与自由探索的文化熏陶之间取得了一定平衡：一方面有父亲规律严谨的管教，另一方面有母亲引导下对思辨和科学的好奇心。值得注意的是，希尔伯特在童年时期并未表现出早慧的数学神童迹象，也并非迟钝愚笨，只是和邻家孩子一样平平常常。正如有研究者所总结：“他完全是个和邻居家一样普通的孩子”，从父母那里学到正直与坚强，而日后事实证明他属于那种“大器晚成”的天才。这种家庭养育方式为希尔伯特提供了稳定且富有启发的成长土壤——既没有畸形的精英教育压力，也不缺乏精神上的激励与方向感。



学校求学经历：学习偏好与社交风格

由于父母的决定，希尔伯特直到 8 岁才正式入学，比当时普鲁士儿童通常 6 岁入学晚了两年。可以推测，在这段时间里母亲在家中教授了他一些基础知识，为他打下一定学术基础。8 岁那年，父母将他送入柯尼斯堡有名望的私立学校——皇家腓特烈学院（康德的母校）就读初级班，这也显示出父母对他的前途颇有期望。然而，希尔伯特并非一开始就在学校出类拔萃。腓特烈学院奉行传统的人文学科教育，以拉丁语、希腊语等古典语言为教学核心，数学被视为次要；学校几乎不教授科学课程。这种课程设置要求学生大量背诵记忆枯燥的语法和篇章，而机械记忆恰恰是希尔伯特与生俱来的弱项。他发现自己很难死记硬背大段材料，这种填鸭式教学令他颇为苦恼，尤其是繁琐的语言课让年少的他格外不愉快。多年后，希尔伯特谦逊地形容自己那时是个“笨孩子”，在这所因循守旧的学校里并未出众。尽管这番话有自谦的成分，但也反映了他对早期中学生活的真实感受——刻板的教育模式并未激发他的才能。



不过，即便在不甚适宜的环境中，希尔伯特的兴趣偏好已开始显露：相较死记硬背古典语言，他唯独对数学课情有独钟。数学课让他感到无穷乐趣，因为上课不需要死记硬背公式定理——他可以通过推理自己将结果重新导出，这种动手思考的方式令他兴奋不已。这表明，希尔伯特自少年起就倾向于理解概念和逻辑推演，而非机械记忆现成知识。哪怕在理解过程中稍显缓慢，他也坚持彻底弄明白每一个细节，决不囫囵吞枣。他在概念吸收上属于“慢热型”，但凭借从父亲那里继承的坚强意志力，他不甘落后于人，对每样所学都完全消化、彻底搞懂，这种学习风格他保持了一辈子。“勤奋堪称楷模，对科学有浓厚的兴趣”——这是老师们对他后来学习态度的评价。值得一提的是，即使在希尔伯特日后成为蜚声国际的数学大师，他仍然需要较长时间才能听明白别人报告中的新思想，然后通过独立思考将之融会贯通。这种“慢工出细活”的风格，正体现出他与众不同的认知节奏和深度加工能力。

在学校的人际交往方面，希尔伯特少年时代并未留下太多特异的事迹。他性情正直热情，与同学相处融洽，并不孤僻。不过真正对他影响深远的，是中学时代结识的一位亦友亦师的伙伴——赫尔曼·闵可夫斯基。1879 年，17 岁的希尔伯特转学到更重视数学教育的威廉中学完成最后一年学业。在那里，他终于进入了合适的土壤：学校鼓励学生独立思考和创新，数学教学内容也更先进（课堂甚至涉及几何的新概念）。同一年，年仅 15 岁的天才少年闵可夫斯基已经提前考入柯尼斯堡大学，并以惊人的速度完成学业。闵可夫斯基记忆力极佳、理解迅捷，曾在中学五年半时间学完八年的课程，是当地远近闻名的数学神童。相形之下，希尔伯特自嘲当年是“小时候是个笨孩子”。然而正是在威廉中学，希尔伯特的数学天赋被真正发现并得到栽培。他在这里度过的短短一年中，数学成绩突飞猛进，获得破格的“超等”评价，而其他各科成绩也全面提升至优等。毕业考评中老师盛赞道：“他对数学表现出极强烈的兴趣，理解深刻；他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地运用它们”。可见在开放的教育环境里，希尔伯特原本“迟钝”的表象下蕴藏的创造力开始迸发，中学毕业时已流露出未来创新型数学家的潜质。


From L to R :  Alfréd Haar, Franz Hilbert, Hermann Minkowski, unknown, Kathe Hilbert, David Hilbert, Ernst Hellinger.

与闵可夫斯基的相遇是希尔伯特学生时代的重要收获。两人在 1883 年正式成为挚友时，希尔伯特 21 岁、闵可夫斯基 19 岁，一个热情开朗、一个腼腆内敛，但都对数学抱有纯粹的热爱。求学期间他们常结伴漫步于柯尼斯堡城郊，一起探讨数学问题、交流心得，切磋中迸发灵感。闵可夫斯基早慧而敏捷，希尔伯特深思而睿智，两种不同类型的天才惺惺相惜，形成了良性互补的合作关系。这种平等切磋、友谊长存的交往风格，不仅丰富了希尔伯特的学习生活，更拓展了他的数学视野。在大学阶段，希尔伯特得以与当时众多一流数学家交流：他听富克斯的课“亲眼看看高超的数学思维是如何进行的”；他拜会传奇名师克莱因，获得赏识和指点；他赴巴黎结交庞加莱、埃尔米特等大师，畅谈数学热点。这些经历培养了他开放交流的治学态度，他日后在哥廷根大学也延续了这种平易近人的学术交往风格。总的来说，希尔伯特在求学时期逐步找到了契合自己天性的学习方式和朋友圈：避开束缚天性的填鸭教育，拥抱激发灵感的自由探索环境；结识良师益友，共享数学激情。这为他后来的卓越创新奠定了重要基础。



思维特质：神经多样性的印记

透过希尔伯特的成长经历，可以观察到一些与神经多样性相契合的思维特质。首先，他表现出极强的逻辑推理和抽象思维倾向。自少年起，希尔伯特就讨厌死记硬背的学习法，更倾心于自行推导结论。这种对逻辑结构的偏爱预示了他成年后在数学抽象领域的非凡成就——例如，他解决不变量论难题时，勇于抛开具体构造而采用抽象的存在性证明，用崭新的逻辑思路攻克了传统方法束手无策的问题。当时保守的数学家（如戈丹）不理解他这套太过抽象的论证，甚至批评道：“这不是数学，这是神学”。但希尔伯特坚信严密逻辑的力量，事实证明他的抽象方法开辟了新天地，连曾经反对的戈丹后来也承认“就连‘神学’都有其可取之处”。可见，希尔伯特的抽象概括能力和对逻辑一致性的执著，远超同时代人。这种特质正是许多神经多样性个体（如自闭谱系中的“逻辑型”人才）常见的优势：他们能够在高度抽象的规则体系中如鱼得水。


David Hilbert

其次，希尔伯特的学习和工作方式中体现出某种“仪式化”特征和高度的自我要求。他一贯保持着一套独特的学习“仪式”：凡经手的知识一定彻底理解，绝不浅尝辄止。在中学时代，他宁可花时间慢慢啃透概念，也不愿稀里糊涂地跳过。这种近乎固执的求知态度伴随他终生，成为他的思维习惯。不仅如此，他在治学上极为严谨，有强烈的完备性追求。例如，他提出的 23 个数学难题，涉及数学各个分支，展示出他对知识版图系统性的要求和规划能力。这一系列难题设定了 20 世纪数学的研究方向，被誉为数学史上的壮举，也反映出希尔伯特内心对构建完整知识体系的渴望。

再次，虽然史料并未直接记录希尔伯特在感官敏感或社交方面有异于常人的行为，但从一些侧面可以推测他的心理特点。高度专注和沉浸式兴趣是他显著的特征：他可以全神贯注于数学问题，对非本质事项表现出一定程度的忽视。据同时期学生回忆，希尔伯特在巴黎访问时“满脑子都是数学”，对观光游览毫无兴趣。这种对兴趣领域专注投入、对外围琐事不太上心的态度，也常见于神经多样性人群。但希尔伯特并非离群索居的学者——恰恰相反，他乐于与同行讨论切磋，在哥廷根主持研讨班时平易近人又充满热情。他在沟通中直率而幽默，早年曾把自己戏称为“笨小孩”来自嘲，晚年也敢于用寥寥数语评点纳粹摧残下的数学凋零（“数学系？早已不存在了”）。可见，他并不缺乏社交智慧和正义感。这或许说明，他的神经多样性特质主要体现在认知方式上，而非人际情感方面。

最后，希尔伯特对自己的要求近乎苛刻，体现出高自我期许的心理特征。从威廉中学老师所说“勤奋堪称楷模”可以一窥他少时的用功程度。步入学术生涯后，他更是以巨大的热情和毅力投身研究，不断拓展新的领域。从不变量论、代数数论、几何基础到物理学基本方程，希尔伯特每涉猎一处皆力求有所突破。他坚信“世上没有解不开的谜题”，反对悲观主义的“不可知”论调。1900 年，他公开宣称：“在数学中不存在任何‘我们永远不能知道’的问题！”这份执着与自信，恰是他对自身能力和理性光辉的高度信任。纵观希尔伯特的一生，他似乎具备某些当今所谓“神经多样性天才”的典型特质：专注、执著、逻辑至上、追求完美。这些特质有的来自天性，有的源于家庭和时代的塑造，但共同成就了他独树一帜的思维风格。



创新风格与形式化倾向：独特的数学思维之路

作为 20 世纪最具影响力的数学家之一，希尔伯特在创新思维和形式化方法上展现了独特的“认知通道”。首先，他善于构建问题和规划学科未来。1900 年巴黎国际数学家大会上，希尔伯特提出了著名的 23 个未解难题，为新世纪的数学树立了宏伟的研究议程。这反映出他卓越的宏观思考和抽象概括能力：能从纷繁的专业课题中提炼出核心挑战，并以前瞻性的眼光指引方向。“问题是数学的命脉”，希尔伯特坚信提出好问题和解决重大问题同等重要。他曾将数学家分为两类：“一类解决过有价值的问题，另一类没有”。他自己无疑是第一类中的领袖，被誉为数学界的“亚历山大大帝”。这种以问题为中心的创新风格，体现了他主动构造而非被动接受知识的思维模式。对教育者来说，这是启发性的：有创造力的头脑往往不满足于解答书本上的问题，而是会自我设问，开拓未知领域。

其次，希尔伯特的语言表达和数学形式化倾向极为鲜明。他强调数学中的概念必须通过形式公理体系来严格定义，而不依赖日常直观意义。一个著名的比喻最能说明他的观点：在讨论几何基础时，希尔伯特指出，只要公理体系自洽，我们完全可以不谈“点、线、面”，而改用“桌子、椅子、啤酒杯”这些对象来替代，它们之间满足同样的公理关系，则几何定理仍旧成立。换言之，他追求的是逻辑一致性，而非符号所指代实体的直观含义。这个大胆的比喻生动地体现了希尔伯特的形式主义倾向：数学对象的本质在于它们遵循的规则体系，而具体叫什么、长什么样并不重要。1900 年前后，希尔伯特出版了《几何基础》一书，以 20 条公理重建欧几里得几何的全部理论，被视为数学形式化的里程碑。从中可以看出，他的“认知通道”偏好于通过精确的符号语言来刻画事实，排除含糊的直觉成分，使数学如同棋局一般严谨。“他要的是逻辑一致，而不是现实对应”——这句话很好地概括了希尔伯特的思想方法。

再次，希尔伯特的创新风格还表现在他勇于突破传统观念的限制，不拘泥于既有框架。这一特质在他解决戈尔丹问题的经历中表露无遗。十九世纪末，不变量理论领域存在一个长期未决的难题：如何证明高维情形下不变量基的有限性。前辈保罗·戈尔丹采用构造性算法解決了二元情形，但对更高元的推广束手无策。希尔伯特选择了一条完全不同的路径：通过纯粹逻辑推理证明了存在一个有限基，却不构造出具体基。这种非直观的“存在性证明”在当时看来石破天惊，因为它证明了“某物存在”却不告诉你“是什么”。希尔伯特引入了抽象的“理想”概念（类似于后来所谓“模”的思想），并断言其基底是有限的。尽管证明本身严谨完备，这种手法还是挑战了不少传统数学家的观念，他们质疑没有构造的存在证明是否真正解决了问题。面对非议，希尔伯特没有退缩。他不仅成功发表了论文，还在后续工作中给出一些具体估计以加强说服力。最终数学界普遍接受了希尔伯特的方法，而他自己也因此开创了代数的不变量理论新篇章。希尔伯特的这种创新勇气和非典型思维，正是独特认知风格的体现：当常规路径走不通时，他能另辟蹊径，以更高层次的抽象思路来俯瞰难题、化解瓶颈。

此外，希尔伯特在与语言和符号打交道时表现出的精确性和简洁性，也是他思维方式的一部分。他善于将复杂思想凝练成简明有力的表述。例如，在他 1930 年的退休演讲结尾，希尔伯特以两句话宣示了对理性真理的不懈追求：“我们必须知道，我们终将知道。”（德语：“Wir müssen wissen. Wir werden wissen.”）这铿锵有力的宣言后来被刻在他的墓碑上，象征了他对科学理性永不熄灭的信念。简短的 8 个德文字，却道出了贯穿他一生的信条：对每一个提出的问题，他都坚信通过人类智力“必须”也“终将”找到答案。这种语言风格既理性又富于激情，在平和的措辞中传递出巨大的思想力量，给予后人深刻的启迪和鼓舞。

综上所述，大卫·希尔伯特的成长历程和思想特点，为我们展现了一位伟大数学家如何在独特认知方式的引领下脱颖而出。从他严格而富含文化气息的家庭教育，到艰难摸索中找准方向的求学岁月，再到他在数学王国中纵横捭阖、倡导形式化和创新的壮年时代，我们看到，一个童年并不显眼的普通孩子，凭借对兴趣的热爱与坚持，逐步成长为引领时代的科学巨匠。这其中所体现的许多品质——比如慢却深的理解力、对逻辑和秩序的偏爱、高度的专注和毅力——正是在现代心理学视角下神经多样性人群经常拥有的闪光点。希尔伯特的故事提醒我们：教育不应只青睐早慧快速的“神童”，也要看到那些思维方式不同却同样潜藏巨大潜能的“慢热型”孩子。如果能够为他们提供合适的环境和支持——允许他们按照自己的节奏探索，鼓励他们发展特殊的兴趣领域，那么他们也完全可能像希尔伯特一样，在人生的舞台上后来居上，创造出令人惊叹的成就。在面对神经多样性的儿童时，家长和教育者或许可以从希尔伯特身上汲取信心与灵感：以理性温和的态度接纳他们的与众不同，用事实和理解去呵护他们的成长。正如希尔伯特的一生所昭示的，只要给独特的心智以空间和时间，我们“必须相信”，每一颗多样的星星最终都“终将”闪耀出属于自己的光芒。



参考资料：

Constance Reid 著，《希尔伯特》（Hilbert）传记，史普林格出版社，1996 年。

O’Connor, J.J., & Robertson, E.F.，MacTutor 数学史网站希尔伯特传记

丁玖：《数学世界的“大卫王”：普通娃如何成为数学翘楚》，载于返朴公众号，2023

大可数学人生：《数学的亚历山大——希尔伯特》专栏文章，2020  Sohu

科学：《从希尔伯特开始，我们知道了什么是“边界”》，2025 维基百科：David Hilbert

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