平面几何的学与思 52 ——正方形与坐标法

luyuanhong

平面几何的学与思 52 ——正方形与坐标法

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 07 月 18 日 23:07  广东

正方形是中心对称和轴对称图形，有多种美妙性质，自然也是各种几何题的常客。在《平面几何的学与思 25 ——三板斧解题》中提出，纯几何法、三角函数法和坐标法（解析法）是平面几何的三板斧，正方形的对称性比较适用建立坐标进行计算，不妨看看坐标法证明 52 题。

题 52 ：

等腰直角 ΔABC 中，∠BAC＝90° ，AB = AC ，D 在 CA 延长线上，以 BD 为边向下构造正方形 BDEF ，M 为 CE 中点，连结 MA 、MF 。

求证：MA = MF 且 AM⊥MF 。



证：

以 CD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，A 为原点，建立直角坐标系，可设各点坐标为

A（0，0）、B（0，a）、C（a，0）、D（-b，0），b＞a＞0 ，

过 E 作 EG⊥CD 于 G ，过 F 作 FH⊥AB 于 H 。

  易知 BD 方程：y = (a/b)x + a

  作 EG⊥CD ，

  则 ∠ADE +∠AED＝90°

∵ ∠ADE +∠ADB＝90°

∴  ∠ADB＝∠AED

∵ BD = DE，∠DAB＝∠DAE＝90°

∴ RtΔDAB ≌ RtΔDGE

∴ AB = DG = a，

    AD = EG = b，

∴  E 坐标（a-b，-b）

∵ 已设 D（-b，0）

∴ DE 方程：y = (-b/a)x + b^2/a

同理，RtΔDAB ≌ RtΔFBH，

∴  F 坐标（a，a-b）

M 为 CE 中点，又知 C 、E 坐标

C（a，0）， E（a-b，-b）

则 M 坐标为（ (2a-b) / 2，- b / 2 ）

AM 的斜率 = - b /(2a-b)

MF 的斜率 = [ (-b/2) - (a-b) ] / [ (2a-b) / 2-a ]  = (2a-b) / b

∴  AM 的斜率 × MF 的斜率  = -1

∴  AM⊥MF

A 的坐标（0，0），

M 的坐标（ (2a-b) / 2，- b / 2 ），

F 的坐标（a，a-b）

AM^2 = (- b/2)^2 + [ (2a-b) /2 ]^2

            = a^2 + b^2/2 - ab

FM^2 = ( a-b+b/2 )^2 +[ a- (2a-b) /2 ]^2

            = a^2 + b^2/2 - ab

∴ AM = FM

太阳元素

王守恩

好题！！！BDEFC五点共圆。

\(∠BDC=a,BC=2\sin(a),BD=2\sin(\pi/4),AB=2\sin(a)\sin(\pi/4),MC=ME=\cos(a)\)

\(AM^2=AC^2+MC^2-2AC*MC\cos(\pi/4)\)

\(FM^2=FE^2+ME^2-2FE*ME\cos(\pi/4-a)\)

\(AF^2=AB^2+FB^2-2AB*FB\cos(a)\)

\(化简可知AM^2=FM^2,AM^2+FM^2=AF^2\)