\(\Huge\color{red}{\textbf{定理:}}\quad\color{navy}{\textbf{自然数皆有限数}}\)

elim

【定理】自然数皆有限数.
【证明】记\(\,\alpha\,\)为最小无穷序数,
\(\qquad\)则它之前的都是有限序数.
\(\qquad\)因 \(\alpha\)不是有限序数的后继,
\(\qquad\)故其不是任何序数的后继
\(\qquad\)即\(\alpha\)不是自然数,但序数链
\(\qquad\)\(\mathbb{N}\)不含非自然数, 故\(\alpha\)后面
\(\qquad\)无自然数. 即\(\mathbb{N}\)是\(\alpha\)的前段
\(\qquad\)可见自然数皆有限数．\(\square\)

【推论1】\(\alpha=\omega\)(1st极限序数)
【推论2】lim n 不是自然数.


自然数完全由皮亚诺公理确定. 而极限, 无穷(及有穷有限)这些概念却不能由皮亚诺公理导出. 但从数学基础的视角看, 康托的序数概念逻辑上先于自然数概念(\(\mathbb{N}\)是满足皮亚诺公理的序数全体). 小于最小无穷序数\(\alpha\)的序数是有限序数. 从这些认识得出 \(\mathbb{N}\)是\(\alpha\)的前段 的猜想. 而本定理就是被论证后的这一猜想的直接推论.

春风晚霞

elim 发表于 2025-7-25 11:55
\(\mathbb{N}\)是最小无穷大序数\(\alpha\)的前段. 这不是个人观点
而是数学事实.    \(\displaystyle\li ...

你主帖所陈述的定理自然数的性质定理，在集合论，那只是自然数的一个截段(参见方嘉琳《集合论》P82页定义3.你证明中说【记α为最小无穷序数,则它之前的都是有限序数.】这吕能证明有限自然数是自然数，但无法证明自然数都是有限自然数！试问【α不是有限序数的后继】的依据悬什么？α是最小无穷数，那么α-1<α，所以α-1亦是有限自然数，那么概据后继的定义，α就是有限数(α-1)的后继.根据皮亚诺公理第二条α+1，α+2，…都是自然数，所以根据自熟数的截段就说\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{m\in\mathbb{N}:m>n=\phi\)就是反康托尔、反皮亚诺自然数理论的铁证！需提醒elim注意的是最小无穷数是孤立序数（有直前的序数），而最小超穷数ω是极限序数(没有直前），两者差别甚大，能混为一谈吗！

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

elim 发表于 2025-7-25 22:03
\(\Huge\color{red}{\textbf{滚驴的无证妄议自曝脑残, 无伤数学分毫!}}\)

\(\mathbb{N}\)是最小无穷大 ...

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

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春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。