传统图形中的数学

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传统图形中的数学

作者 | 虞林军

河图洛书与太极八卦

“河出图，洛出书”，语出易经《系辞·上》，是中国古代流传下来的两幅神秘图案，源自天上星宿，蕴含了深奥的宇宙星象之理，是中华文化之阴阳五行术数之源。洛阳的河图洛书传说入选了国家级非物质文化遗产名录。

河图被视为先天本体宇宙生成图，用黑白、数字、图案等元素阐释宇宙。河图共有一至十这十个基本数，其中奇数为阳为白，偶数为阴为黑，总数相加得 55 ，这是古人“天地之数五十有五”的由来。图中十个数被两两分为五组，每组含奇偶数各一，其和为等差数列。所以河图包含了十进制、奇偶性、等差数列等数学思想。



后世根据河图中的黑白、数字变化等元素提炼成太极阴阳鱼图，最早由北宋周敦颐绘制，用于阐明《周易·系辞》“易有太极，是生两仪，两仪生四象”之意，为圣学十图的第一图。 太极图由最基本的几何线条—圆弧构成。在大圆的两个对径点，用两个方向相反的中半圆组成“S”形阴阳鱼，并辅以黑白两个小圆作为鱼眼。图中包含了两种基本的几何对称：“S”形是中心对称图形，两个鱼眼是轴对称（也是中心对称）图形。另外可以看到，“S”形的长度正好等于半圆，也就是说从A到B的三条曲线长度相同，与此同时“S”形也正好均分了大圆的面积。显然本图中任意两条曲线围成的图形周长相同，但大圆的面积是“阴阳鱼”的 2 倍。这说明相等周长可以围出不同面积，其中圆的面积最大，体现了极值的数学思维。太极图中由 AB 两个顶点和相连的三条曲线，构成了最简的奇数顶点“一笔画”，起点和终点分别为 A 和 B ，验证了“连通图 G 有 Euler 行迹当且仅当 G 中至多两个奇数顶点”的图论定理。太极图中包含了丰富的数学元素，同时也通过图形的对称、对照及圆转，体现了富含哲理的形式美。

洛书被视为先天本体宇宙变化图，以一至九作为基本数，其中奇数为阳为白，偶数为阴为黑，洛书上纵横斜各条线上的三个数字，其和皆等于 15 ，完全符合三阶幻方的九宫填数规律。



八卦图是由“乾兑离震巽坎艮坤””八种卦象及太极之图创设的图形。相传由伏羲根据《河图洛书》创设。在传世文献里，最早出自宋代邵雍。先天八卦图以“-”为阳爻代表 1 ，以“--”为阴爻代表 0 ，图形用标出了 1~8 这八个三位二进制数字（8 如取后三位等同于 0 ），阴阳爻相对互补，体现了二进制的内涵。八卦图的数字分布继承了洛书的精髓，设定太极之数为5，纵横斜各条线上的三个数字，其和皆等于15，与洛书一致。在此基础上发展而来的文王六十四卦，则用六位阴阳爻遍历了 1~64 的二进制编码，并且奇偶数交叉排列，沿圆周对径位置分为 32 组，两两相加之和完全相同，绘制者显然熟稔数字排布规律，体现了高超的数学技巧。

五行图

五行学说是中国传统文化的核心，被视为古代朴素唯物主义哲学。中国哲学家用金水木火土五种基本要素的运行来说明宇宙万物形成及循环相生相克关系。相生即相互促进，相生顺序是：金生水生木生火生土生金，形成外围“五边形”循环闭环；相克即相互抑制，相克顺序是：金克木克土克水克火克金，形成内部“五角星”循环闭环。五行图用系统模型形象地表述了这种循环关系。



从数学角度来说，五行图由正五边形及其对角线构成，是一个有向完全图。 是四次正则图，每个顶点均有四条边，符合“连通图 G 是 Euler 图的充分必要条件是 G 最多有两个奇数顶点”的判定，所以是 Euler 图。从图上可以看出，每个顶点的方向箭头“两进两出”，可沿“五边形”和“五角星”顺利地完成图形的“一笔画”，并且起点和终点重合，这是 Euler 图的基本性质。五行图外围的“五边形”闭环是一个 Hamilton 圈，内部的“五角星”闭环从数学上来说，也是一个 Hamilton 圈，因此五行图是两个独立圈的“并”，符合“连通图 G 是 Euler 图的充分必要条件是 G 最多有两个奇数顶点”的判定条件。五行图可以说是 Euler 图和 Hamilton 图概念具体化的范例。五行图的线段之间共包含了 20 个黄金三角形和 5 个黄金梯形。五行图有各种轴对称和旋转对称，甚至“金水木火土”五个汉字，也（几乎）满足数学上的轴对称要求。

作为对比，图论的起源—“哥尼斯堡七桥问题”的每个顶点的边数为奇数，奇数顶点数超过两个，无法“一笔画”，不属于 Euler 图，所以不可能无重复地遍历七条边（七座桥）。

青朱出入图和赵爽弦图

魏晋时期数学家刘徽作《九章算术注》时，依据“割补术”为证勾股定理而制“青朱出入图”。此图在几何证明中别开生面，不著一字但神采斐然，是运用数形关系证明勾股定理的精妙几何法。根据平方关系，得到两个直角边正方形，分别称之为“青图”和“朱图”，把青图和朱图切割后，再完美拼合为斜边正方形，如图所示。其要点在于三组全等三角形的出入平移：







上述中外两种勾股定理证明，图形和方法上完全不同，但认真体会可知，证明的思路是一致的：用正方形面积表示长度的平方，再通过全等三角形的面积代换达成证明，可谓殊途同归。直观地看，青朱出入图只需要三组直角三角形的平移，不证而证，格高韵远，似乎略胜一筹。

三国时期数学家赵爽创制的“勾股圆方图”，现称赵爽弦图，用形数结合之法，给出了勾股定理的另一种证明。其中



简洁的面积计算，是众多勾股定理证明方法的典范。

牟合方盖

牟合方盖是数学家刘徽首先发现的，即一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，圆柱体的公共部分，因采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称牟合方盖。刘徽尝试通过计算牟合方盖的体积，推导计算球体体积却未果，直到二百多年后的数学家祖暅继承刘徽的想法，彻底解决了球体体积的计算。

牟合方盖体积计算的理论依据是祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积均相等，则体积相等。祖暅实际计算采用半个牟合方盖，利用其等高处的截面积与四棱柱扣除四棱锥后的截面积相等，得出两者体积相等，其中用到了当时已知的数学知识：棱柱和棱锥体积计算、圆面积计算、勾股定理。


牟合方盖


牟合方盖实例——榫卯连接



依据上图，具体计算过程为（图示均为实际体积之半）：



祖暅原理在中国数学史上具有划时代的意义，代表中国古代数学向逻辑化、理论化方向发展，解题思想上出现了微积分的萌芽，只是后世未能取得新的进展，祖暅原理成了飘零在中国古代数学星空的璀璨孤星，殊为可惜。

结语

中国古代图形丰富多彩，堪称艺术宝库。对于中国古代图形的由来和演变，由于年代久远，历来众说纷纭、莫衷一是。本文主要是从数学的切面进行解读，对蕴含其中的数学知识作一些力所能及的探讨和分析，对于图案本身的历史无意深究。限于水平对相关数学方面的介绍也只能挂一漏万，难以做到全面、准确、深刻，抛砖引玉而已。

原创  虞林军  好玩的数学  2025 年 07 月 23 日 09:31  江西