拉马努金：以一己之力挑战整个欧洲的数学家

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拉马努金：以一己之力挑战整个欧洲的数学家

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 07 月 24 日 11:48  浙江

他恐怕是历史上最特别的数学家，一生留下 3900 多个公式，却几乎没有一点证明。在他去世后的一百年里，人们不断证实他留下的公式，甚至在黑洞物理、量子力学和弦论等领域，这些公式都能体现出巨大价值。

他就是被誉为“与神对话”的数学天才——斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）。他甚至曾以一己之力挑战整个欧洲的数学家，起因则是黎曼猜想。



拉马努金出生于印度婆罗门种姓（1887 年），但家族已经衰落，一家人生活拮据。

他的数学天赋是在 11 岁时被发现的，他家的两位房客正好是数学系大学生，给拉马努金带来很多数学书，没想到年仅 11 岁的他很快就学完了，而且对无穷级数很感兴趣。

命运的转折发生在 1903 年，16 岁的拉马努金拿到了一本凯尔（G. S. Carr）的《纯数学与应用数学基本结果概要》（A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics）。这本书写于 1886 年，总结了当时已知的 5000 个数学定理。正是这本书激发了拉马努金的创造力，他开始忘我地研究。


《纯数学与应用数学基本结果概要》的封面与内页

进入大学后，他严重偏科，除了数学，其他学科都没能及格，最后连学位都没能拿到。

之后，他在极度贫困的状态下，继续研究数学。有幸经过重重推荐，得到了印度数学学会负责人拉马钱德拉·拉奥（Ramachandra Rao）的资助，得以持续发表自己的研究成果。印度数学家们被拉马努金的才华震惊了，开始帮他与英国数学家取得联系。

1913 年，拉马努金发表了一长串神奇的公式，给剑桥大学的三位数学家，只有哈代（Godfrey Harold Hardy）意识到了拉马努金的天赋，他看后表示，从未见过如此美丽的东西。


戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）

比如这个关于黄金分割律 Φ 、自然对数 e 和圆周率 π 的公式，采用无穷连分数的形式：



拉马努金擅长以直觉得出公式，但缺乏正规教育，从来不进行证明。

他往往会得出一些无穷递归等式，然后通过微调其中的数字，得到非常精准的结果。

比如，这个关于圆周率 π 的公式：



1103 ，26390 和 396 到底是怎么得到的？！

哈代惊呆了，他希望拉马努金能进一步给出证明。

拉马努金曾经看过哈代的《无穷阶数》（Orders of Infinity），热衷于无穷级数的他，非常喜欢这本书。但在书中，哈代提到：“尚未找到一个公式，能明确地表述出给定范围内的素数个数”。


哈代的《无穷阶数》

这让拉马努金激动不已，因为他确信自己找到了一个这样的公式，为此他与哈代进行了多次信件交流。但信中只有公式，没有证明。哈代与李特尔伍德经过解读发现，拉马努金所做的，正是对高斯猜想（对素数分布的估算）的改进，与黎曼的理论很接近（可以参见往期文章黎曼留给世界的谜题）。但他的公式里，没有包含 ζ 函数零点相关的项来消除误差，因为他认为 ζ 函数所带来的误差能被相互抵消。



这一次拉马努金错了，但他的发现，却给哈代带来了重要的启示：如果零点不在 ζ 函数的临界线（实部等于 1/2 的那条线）上，那么这个估算的误差会大很多。

在此基础上，哈代证明了：黎曼 ζ 函数存在无穷多个非平凡零点的实部都是 1/2 。这是数学家们第一次在黎曼猜想问题上取得的重要成果。


黎曼猜想：黎曼 ζ 函数的非平凡零点的实部都是 1/2 。哈代证明了存在无穷多个这样的非平凡零点，取得了重要的突破。

这一切的起因，竟然是一位没有接受过系统教育的印度青年，以一己之力挑战整个欧洲的数学家。

哈代知道这位印度青年拥有非凡的天赋，他只是需要尽快熟悉一下最新的知识，于是哈代竭尽全力，安排拉马努金来剑桥学习。

哈代曾这样评价拉马努金：“他知识不足的程度跟知识的深厚都让人很吃惊。他是能够发现模方程和定理的人……到达前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了 ζ 函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题中级数的主要项；但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有非常模糊的概念……”

哈代还评价道：“作为一个贫穷且孤独的印度人，他有着绝对的劣势，却凭借自己的头脑来应对欧洲的智慧积累”。


剑桥大学三一学院

虽然到了剑桥之后，拉马努金始终没能撼动黎曼猜想，但是他却和哈代、李特尔伍德一起，在分拆数问题上取得了重大突破。

所谓的分拆数（Integer Partition），又叫整数分拆，就是指一个正整数能拆分成多少种正整数相加的方式。

比如 3 可以拆分成：3 ，2+1 或者 1+1+1 ，数字顺序交换视为同一种。

又比如 5 就可以拆分成：5 ，4+1 ，3+2 ，3+1+1 ，2+2+1 ，2+1+1+1 ，1+1+1+1+1 ，一共 7 种分拆（partition）方式。



一开始很简单，但随着数字增加，会变得异常复杂。

比如当数字增加到 200 ，则有 3 972 999 029 388 种拆分法。

拉马努金得到神启，写下了一个极其简洁的估算公式：



在 200 的分拆数上，估算值的误差大约是 3% 。而哈代的同事，被誉为“人类计算器”的麦克马洪（Percy MacMahon）整整计算了一周，才得到了精确值。

后来拉马努金与哈代又提出了一个更优的估计，这个估算值四舍五入后准确无误：



阿达玛将数学家研究数学的过程划分为四个部分：预备阶段、酝酿发酵、灵光乍现、严谨证明，毫无疑问拉马努金在第三方面具有超凡的天赋，但在第四部分却极其匮乏。

而他的老师与合作者哈代，则擅长复杂的证明，他们对分拆数的研究，产生了一项新技术“圆法”。

后来，哈代与李特尔伍德（John Edensor Littlewood）首次运用这一方法，在哥德巴赫猜想（每一个大于 2 的偶数都能写成两个素数之和）上做出了重要贡献（1923 年），证明了：每个相对较大的奇数都能写成三个素数之和。因此，这个方法又被称为“哈代-李特尔伍德圆法”。



值得一提的是，十三年之后（1936 年），华罗庚先生来到剑桥大学访问学习，受到哈代-李特尔伍德学派的影响，在解析数论上取得了重要成果，并将哥德巴赫猜想问题带回中国，这才有了后来国内对这一问题空前的热度。


左三为华罗庚，右二为陈景润

1920 年，拉马努金和黎曼一样得了肺结核，英年早逝。

拉马努金留下了大量关于无穷递归的等式，其中有许多神来之笔，没有人知道这些公式是如何得来的。它们如同神迹，至今仍是一个迷。



这些公式，启迪并引领了许多现代数学的研究领域，比如数论中的模形式、韦伊猜想（Weil conjectures）、L 函数和朗兰兹纲领（Langlands program）、以及黑洞物理、类θ函数、弦论和量子引力理论等物理理论。

甚至有数学家在这些公式的启发下，经过进一步研究获得了菲尔兹奖。哈代曾说过：他一生对数学最大的贡献就是发现了拉马努金。

如今设立了拉马努金奖，以奖励在数学领域中作出杰出贡献的年轻数学家（获奖者的年龄需在 32 岁以下）。张伟、恽之玮、刘一峰、唐云清、张瑞祥等 5 位中国数学家曾获得过该奖。

拉马努金死后一百余年，他生前所埋藏的数学宝藏依然在被发掘。

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