倍角三角形定理及其应用

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倍角三角形定理及其应用

原创  王老师  数学九章学数学  2025 年 07 月 11 日 23:26  河北

当三角形的一个内角是另一个内角的两倍时，我们称之为倍角三角形，此时其边也有固定的关系。本文将对此结论进行证明，并举例应用。需要说明的是此结论中的边角关系互为充要条件，下文中的证明中有时为了方便只证明了一个条件。







当然，我们也可以考虑利用余弦定理将角的关系转化为边的关系，但计算比较麻烦，化简过程中还要根据要证的结论进行配凑，下面的证明仅供欣赏。







小结：上面的证明基本体现了三角形问题的主要思考角度，主要有三个方面：

① 从边角互化的角度，利用三角形的相关定理进行解答；

② 从几何图形的角度，一般要添辅助线，利用初中所学的相似三角形或构造直角三角形等知识；

③ 从向量的角度，将边或角的关系用向量表示出来，并利用向量运算求解边或角。

下面的例题出自 2025 届安徽安庆部分重点中学 4 月联考，仅以此题初显倍角三角形在高考题或模拟题中应用。



下面是试题中所给出的解法，第（2）问由于三角形中角的关系比较多，故正弦定理是主要的考虑方向，只是过程有些复杂，题后的备注会给出简单的方法。







最后强调一下，数学重在思考过程。结论可助我们快速找到答案，但过程中蕴含的思想方法才是我们解决问题的真谛。

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