平面几何的学与思 57 ——浅谈证明几何等式的截取法

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平面几何的学与思 57 ——浅谈证明几何等式的截取法

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 07 月 31 日 23:03  广东

在平面几何的学与思 43 ——托勒密定理证明几何等式、更早的对角线互相平分构造平行四边形谈到，碰到证明几何等式，常规思路是截取一段线段，再证明剩下的线段等于另一条线段。或者延长某线段，证明延长的部分等于另一线段。前面谈到的是延长法，这次来看看截取法——在托勒密定理与正弦和公式这一小节，用相似三角形证明托勒密定理就用过截取法。

题 57：

ΔABC 中，AB﹥AC，∠A 的外角平分线交 ΔABC 外接圆于 E ，过 E 作 EF⊥AB ，垂足为 F ，

求证：2AF＝AB - AC 。

         
         原图


        解题图

证：

由题意知，E 在劣弧 ⌒AB 上，在线段 AB 上取点 D ，使得 AF＝DF ，连结 ED 交 ΔABC 外接圆于 G ，连结 BG ，
EF⊥AB ，ΔAED 是等腰三角形。

∵ AE 平分 ∠PAB

∴  ∠ADE ＝ ∠DAB ＝ ∠PAB / 2 ＝ (∠C +∠ABC ) / 2

∵  ∠AED = 180° - ∠DAE ＝ 180° -  (∠C +∠ABC ) ＝ ∠BAC

∴  劣弧 ⌒BC ＝ 劣弧 ⌒AC

两边减去劣弧 ⌒CG 得： AC＝BG

∵ ∠BGD (∠BGE ) ＝ ∠BAE ＝ ∠ADE ＝ ∠BDG

∴  BD ＝ BG ＝ AC

∴  2AF ＝ AD ＝ AB - BD ＝ AB - AC

太阳元素