揭秘 p 进数：数学世界的「异次元」数字

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揭秘 p 进数：数学世界的「异次元」数字

原创  煦若射  机器学习与数学  2025 年 07 月 29 日 21:50  浙江

你知道吗，在数学的某个角落，下面这个等式是完全成立的：



看到这个式子，你的第一反应很可能是：这怎么可能？

在我们的常识里，一堆正数相加，结果只会越来越大，奔向无穷，怎么可能得到一个负数呢？

今天我们就来聊一聊 p-adic number，即所谓的 p-进数。

想象一下我们平时怎么衡量数字的「大小」。我们用的尺子叫「绝对值」。比如，100 离 0 点很远，所以它是个「大」数；0.01 离 0 点很近，所以它是个「小」数。这是我们最熟悉的数轴。

p-adic number 的核心思想是：换一把尺子来衡量数字的大小。

这把新尺子不关心一个数离 0 有多远，而是关心一个数能被一个特定的质数 p 整除多少次。

1. 新的「大小」标准



2. 长得奇怪的 p-adic 数



3. p-adic 数有什么用？



4. 小结

● p-adic 数是一种另类的数字系统，它衡量「大小」的标准不是距离，而是「被质数 p 整除的能力」。

● 一个数含有 p 的因子越多，它就越「小」。

● p-adic 数的书写形式是向左无限延伸的，这和我们习惯的小数点后向右延伸正好相反。

● 它们是数论中的一个核心工具，帮助数学家从不同的「角度」（每个质数 p 提供一个角度）来审视整数问题。

案例

我们来用之前提到的「局部-整体原则」来举一个经典的例子。这也被称为哈斯-闵可夫斯基定理（Hasse-Minkowski Theorem）的一个简单应用。



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