\(\Huge\color{red}{关于《Dr.陶哲轩:无穷lim n\notin\mathbb{N}》的回复 }\)

春风晚霞

        关于《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲道：〖自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）〗，春风晚霞认为可作如下解读
        1、什么是无穷大：
        【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（记作\(\infty\))（参见菲赫金哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
         2、什么叫n→∞？
        【定义】：当\(n\in\{n｜n>N_E，n\in\mathbb{N}\}\)时称n趋向于无穷大，记为n→∞.
        3、自然集是无界集
        现行小学四年级教材（人教版小学四年级上册）[认识更大的数板块]要求向学生渗透〖比你写得出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷大自然数〗。根据这个描述性说法，自然数的无界性（即无穷大自然数）可定义为：
        【定义】.对任意预先给定的无论怎样大的自然数\( \alpha\),则称自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}=\{m\in\mathbb{N}:m> \alpha\}\)为无穷大自然数集，集合\(\mathbb{N}_{\infty}\)中每个数都是无穷大自然数。
        根据E的任意性和皮亚诺公理，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\phi\)。事实上当.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\)，都有\( \alpha\)+1，\( \alpha\)+2，……属于\(\mathbb{N}\)，所以\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\phi\)！
        4、无穷大自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与无穷大自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}\)的关系
        根据无穷大自然数集的定义，自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}\)
        5、在康托尔非负整数集（包含了自然数集）中\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)、\( \omega\)、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各有各的语言环境，elim多处把\( \omega\)作最小无穷数，来证明他的【自然数皆有限数】，结果是荒唐的。
        根据如上的分析，我认为《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲的〖\(\color{red}{自然数系能够}\)\(\color{red}{趋向于无穷大}\)，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）〗，纵观《陶哲轩实分析》全书，陶先生的极限观是柯西极限观(即无限逼近，充分靠拢，但不等于），所以根据陶先生\(\color{red}{自然数系能}\)\(\color{red}{够趋向于无穷大}\)的观点，陶哲轩先生还是认可\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)的！

春风晚霞

       【定理】： 若集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)，则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)
        【证明】：因为集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)(已知)
易证集列\(A_k=\{1，2.…，(k-2)，(k-1)，k\}\)单调递增。所以根据单调集列极限集的定义（如北大教材《实变函数论》P9定义1.8）有：
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1} ^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-2)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！
【证毕】