二素数间隔问题

yangchuanju · 发表于 2025-8-26 20:25

自然数x 最大间隔江山（1）式比值
100000 72 112.2083192 1.558448877
1000000 114 165.9718794 1.455893679
10000000 154 230.3265579 1.495626999
100000000 220 305.276803 1.387621832
1000000000 282 390.8252 1.385904965
10000000000 354 486.9733542 1.375630944
1E+11 464 593.7223149 1.279573955
1E+12 540 711.072797 1.316801476
1E+13 674 839.0253041 1.244844665
1E+14 804 977.5802016 1.215895773
1E+15 964 1126.737761 1.168815104
1E+16 1132 1286.498187 1.136482498

自然数x 最大间隔江山（2）式比值
100000 72 90.19785628 1.252748004
1000000 114 134.7706484 1.182198671
10000000 154 188.9824469 1.227158746
100000000 220 252.9716315 1.149871052
1000000000 282 326.8437387 1.15902035
10000000000 354 410.6816696 1.160117711
1E+11 464 504.5521103 1.087396789
1E+12 540 608.5097608 1.126869927
1E+13 674 722.6002293 1.072107165
1E+14 804 846.8620743 1.053311038
1E+15 964 981.3282865 1.017975401
1E+16 1132 1126.027387 0.99472384

江山的两个复杂公式的计算值要比ln(x)^2的计算值，更接近真实间隙值一些。

白新岭 · 发表于 2025-8-26 22:16

本帖最后由白新岭于 2025-8-26 22:22 编辑

多谢yangchuanju先生续写后续内容。我是在找如何用k生素数的数量公式表示N内素数个数（现在素数定理，已被认可，它的分母是自然对数的值），如果用2生素数及以上k生素数之和去表示的话，那么每个加式项中的分母是自然对数的k次方，根据以前对这方面的分析，可以确定的是，从2生素数开始为+，3生素数为-，是交叉的，直到末端。
另外，在复数的n次方时，展开项实数部分，虚数部分，它们中，也是正负交错，例如：
\((a+i)^{10}=\\C_{10}^0*a^{10}*i^0+C_{10}^1*a^9*i^1+C_{10}^2*a^8*i^2+C_{10}^3*a^7*i^3+C_{10}^4*a^6*i^4+C_{10}^5*a^5*i^5\\+C_{10}^6*a^4*i^6+C_{10}^7*a^3*i^7+C_{10}^8*a^2*i^8+C_{10}^9*a^1*i^9+C_{10}^10*a^0*i^{10}\)

白新岭 · 发表于 2025-8-26 22:25

接上\((a+i)^{10}=\\C_{10}^0*a^{10}+C_{10}^1*a^9*i^1-C_{10}^2*a^8-C_{10}^3*a^7*i+C_{10}^4*a^6+C_{10}^5*a^5*i\\-C_{10}^6*a^4-C_{10}^7*a^3*i+C_{10}^8*a^2+C_{10}^9*a^1*i-C_{10}^10*a^0\)

白新岭 · 发表于 2025-8-26 22:30

本帖最后由白新岭于 2025-8-26 22:32 编辑

接上\((a+i)^{10}=\\C_{10}^0*a^{10}-C_{10}^2*a^8+C_{10}^4*a^6-C_{10}^6*a^4+C_{10}^8*a^2-C_{10}^1*a^0\\
(C_{10}^1*a^9-C_{10}^3*a^7+C_{10}^5*a^5-C_{10}^7*a^3+C_{10}^9*a)*i\)

白新岭 · 发表于 2025-8-26 22:36

从这个展开式中可以看出，无论实数项，还是虚数项，它们都是正负交叉的。不过它们的次幂是以2为公差的，不是以1为公差，从这里还是不能看出k生素数的子集，交集，全集，并集的关系网。

yangchuanju · 发表于 2025-8-27 12:55

相邻素数的间隙（差）可以任意大
素数阶乘
3#=6，5#=30，7#=210，11#=2310，13#=30030
6=3#，3的下一个素数是5，阶乘数6后的6+1=7是素数，6+2，+3，+4都是合数，6+5=11是素数，两素数间隙是4=11-7，4=5-1；
（6前的素数和间隙不讨论）
6*2=12，前素数间隙11-7=4，后素数间隙17-13=4；6*3=18，前素数间隙17-13=4，后素数间隙23-19=4；6*4=24，前素数间隙23-19=4，后间隙不讨论；6k的前后素数间隙≥4。

30=5#，5的下一个素数是7，阶乘数30前30-1=29是素数，30-2，-3，-4，-5，-6都是合数，30前30-7=23是素数，两素数间隙是29-23=6，6=7-1；
阶乘数30后30+1=31是素数，30+2，+3，+4，+5，+6都是合数，30后30+7=37是素数，两素数间隙是37-31=6，6=7-1；
30*2=60，前素数间隙59-53=6，后素数间隙67-61=6；30*3=90，前素数间隙89-83=6，后间隙97-91=6不是素隙；30*4=120，前间隙119-113=6不是素隙，后间隙127-121=6也不是素隙；
30*5=150，前间隙149-143=6不是素隙，后素数间隙157-151=6；30*6=180，前素数间隙179-173=6，后间隙187-181=6不是素隙；30k的前后素数间隙≥6。

210=7#，7的下一个素数是11，阶乘数210前210-1=209不是素数，210-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10都是合数，210前210-11=199是素数，209-199=10，10=11-1；
阶乘数210后210+1=211是素数，210+2，+3，+4，+5，+6，+7，+8，+9，+10都是合数，210后210+11=221不是素数，间隙是221-211=10，10=11-1；
420,630,840,1050,1260,1470,1680,1890,2110前后的素数间隙≥10。

2310=11#，11的下一个素数是13，阶乘数2310前2310-1=2309是素数，210-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10，-11，-12都是合数，2310前2310-13=2297是素数，素数间隙2309-2297=12，12=13-1；
阶乘数2310后2310+1=2311是素数，2310+2，+3，+4，+5，+6，+7，+8，+9，+10，+11，+12都是合数，2310后2310+13=2323不是素数，间隙是2323-2311=12，12=13-1；
2310,4620,6930,9240,11550,13860,16170,18480,20790,23100,25410,27720前后的素数间隙≥12。

yangchuanju · 发表于 2025-8-27 12:55

30030前的某数前后的两相邻素数的间隙，需先对该数进行分解，若分解式前部含有连续的2*3、2*3*5、2*3*5*7、2*3*5*7或2*3*5*7*11素因子积，则这个整数前后的素数间隙分别为≥4，≥6，≥10，≥12。
如2340=2*2*3*3*5*13=(2*3*5)*(2*3*13)服从2*3*5=30前后的素数间隙规律。
某正整数前后的最大素数间隙不能用此规律断定。
该规律只能用于说明p#前后的素数间隙不小于下一个素数q减1之值，或者说p#前后的两相邻素数间隙不小于q-1；
当p任意增大到非常大的某个数值时，它前后的两相邻素数间隙也一定要大于p了！
故此，两相邻素数的间隙可以任意大，无穷大！
实际上由于p#±1，p#±q不一定是素数，真正的两相邻素数的间隙会更大一些。

yangchuanju · 发表于 2025-8-27 12:56

正整数阶乘n！前后的素数间隙最小值
设正整数n前的最大素数是p，下一个素数q一定是大于n的，
则n!=p#*k，n！前后两相邻素数间隙由p和q决定，不小于q-1，也一定不小于n的。

yangchuanju · 发表于 2025-9-1 06:30

yangchuanju 发表于 2025-8-26 19:45
根据小月亮先生给出的10^5--10^16以内的实际最大素数间隙数据和ln(x)^2对比如下——
自然数x 最大间隔 ...

A038460-19
Maximal value of difference between successive primes among numbers < 10^n.
小于 10^n 的素数中连续素数差值的最大值。
1 2
2 8
3 20
4 36
5 72
6 114
7 154
8 220
9 282
10 354
11 464
12 540
13 674
14 804
15 906
16 1132
17 1220
18 1442
19 1510

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