给定 a1＞b1＞0，a(n+1)=(an+bn)／2，b(n+1)=√(anbn)，证明 liman,limbn 存在且相等

永远

给定两个正数  \(a_1\)  与  \(b_1\)  （\(a_1>b_1\)），作出其等差中项   \(\large a_2=\frac{a_1+b_1}{2}\)  与等比中项  \(\large b_2=\sqrt{a_1b_1}\) ，一般的令  \(\large a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\) ， \(\large b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\) ，\(n=1{,}2{,}3{,}\cdots\)

证明：\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)  与  \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)  皆存在且相等。



另外下面这个结论怎么证明的？

永远

主要是我很好奇，想看看陆老师有啥看法，以便于我好学习一下

luyuanhong

liangchuxu

利用极限定义，供参考

永远

luyuanhong 发表于 2025-8-15 12:55

给定 a1＞b1＞0，a(n+1)=(an+bn)／2，b(n+1)=√(anbn)，既然极限存在，那么能否求出  liman , limbn 请给出必要分析步骤 。

主要是我很好奇，想看看陆老师有啥看法，以便于我好学习一下

elim

这个极限与高斯关于椭圆积分的一个恒等式有关．以前有贴子介绍过．

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2025-8-16 08:15

陆老师好，您给出的特定情况下a1、b1的值，求liman,limbn我明白了。那么问题来了，

对于任意给定： a1=a＞b1=b＞0，n=1，2，3，……a(n+1)=(an+bn)／2，b(n+1)=√(anbn)，能否求出liman=limbn的值。