重心与玛丽恩定理

luyuanhong

重心与玛丽恩定理

原创  AthlonB  唯思客俱乐部  2025 年 08 月 11 日 01:03  比利时

玛丽恩定理是一个关于平面几何中三角形边长等分点与顶点连线形成的多边形面积的定理，它由出生在德国的美籍女数学家玛丽恩·沃尔特（Marion Walter）发现。

玛丽恩定理具体表述为：如果将任意三角形的每一条边三等分，并将等分点与其相对的顶点相连，这些连线所围成的六边形的面积是三角形面积的 1/10 。



在上图中，六边形 JKLMNO 的面积为三角形 ABC 面积的 1/10 。

在证明这个定理之前，我们来讨论一下三角形的重心定理。

如果将玛丽恩定理中三等分改为等分，那么玛丽恩定理就将退化成重心定理，3 条中线不会围成一个六边形，而是会相交于同一点，即三角形的重心 G 。



重心定理表明，三条中线相交于重心，且重心到顶点的距离是到中点距离的 2 倍；或者说，重心将每一条中线分为长度为 2 : 1 的两个线段，到顶点的距离为 2 份，到中点的距离为 1 份。

关于重心定理的证明方法很多，其中有一个与物理性质有关。

如果我们考虑在三角形的三个顶点上都放上一个质量为 m 的质点，那么这三个质点的质心或者重心将是这三个质点进行加权平均后的位置。



先考虑 A 点和 B 点的质心，很显然，它位于 AB 的中点 D 上，其等价的质量为 A 点和 B 点质量之和，即 2m 。

再考虑 C 点和 D 点的质心，因为 D 点的质量是 C 点质量的2倍，所以根据杠杆原理，其质心或者说整个三角形的质心 G 将位于线段 CD 的 1/3 处，即 GC : GD = 2 : 1 。

如果从 BC 的中点，CA 的中点开始考虑，可以得出类似的结果。因为三角形只有唯一质心，所以 AE ，BF 和 CD 必然相交于同一点 G ，且在 3 条中线上分别形成 2 : 1 这样的长度关系。

现在，我们将这个重心定理一般化，即考虑在三角形的顶点上放置不同质量的质点。



引理：考虑三角形 ABC 内任意一点 G ，CG 的延长线交 AB 于 D ，且 AD : BD = 1 : p ，AG 的延长线交 BC 于 E ，且 CE : BE = 1 : q 。如果 BG 的延长线交 CA 于 F ，那么 CF : AF = p : q 。

这个引理可以通过重心定理来证明。因为 D 将 AB 分为 1 : p 的两段，如果 D 是 A、B 两个点的质心，B 点上的质量为 m ，那么A点上的质量应该为 pm 。类似地，C 点上的质量应该为 qm 。根据重心定理，F 是 C 、A 两个点的质心，而 A 点质量为 pm ，C 点质量为 qm ，所以 CF : AF = p : q 。

现在回到玛丽恩定理。



考虑点 O ，根据玛丽恩定理中的定义，它是 AG 和 CD 的交点，且 AD : BD = CG : BG= 1 : 2 。设 BO 的延长线交 CA 于 R ，根据上面的引理，CR : AR = 2 : 2 = 1 ，即 R 是 CA 的中点。

类似地，如果 BL 的延长线交 CA 于 R' ，R' 也将是 CA 的中点。因此，B 、L 、O 和 CA 的中点 R 四点共线，C 、N 、K 和 AB 的中点 P 四点共线，A 、J 、M 和 BC 的中点 Q 四点共线，这 3 条中线相交于三角形重心 S 。

考虑到三角形 ABC 被这 3 条中线分为 6 个小三角形，如下图不同颜色的 6 个小三角形所示。



那么玛丽恩定理等价于：在每个小三角形中，靠近重心的那个更小的三角形的面积是小三角形面积的 1/10 。在下图中，即三角形 OSJ 的面积是三角形 RSA 的面积的 1/10 。



根据面积的正弦定理，

SOSJ = 1/2 × SO × SJ × sin(∠OSJ)

SRSA = 1/2 × SR × SA × sin(∠RSA)

所以，

SOSJ : SRSA = (SO : SR) × (SJ : SA)

现在，我们利用重心定理来分别计算 SO : SR 和 SJ : SA 。



重新回到 O 点。因为 AD : BD = CG : BG = 1 : 2 ，如果 B 点的质量为 m ，那么 A 点和 C 点的质量都为 2m ，R 点上的等价质量即为 4m 。在线段 BR 上，因为 B 点质量为 m ，R 点质量为 4m ，所以重心 O 的位置为 BO : RO = 4 : 1 ，即 RO = 1/5 × BR 。

而 S 为三角形 ABC 的重心，RS = 1/3 × BR 。所以，SO = RS – RO = 2/15 × BR 。

SO : SR = (2/15) : (1/3) = 2/5 。



再考虑 J 点。类似地，AD : BD = 1 : 2 ，CQ : BQ = 1 : 1 ，如果 B 点的质量为 m ，那么 A 点的质量为 2m ，C 点的质量都为 m ，Q 点上的等价质量即为 2m 。在线段 AQ 上，因为 A 点质量为 2m ，Q 点质量为 2m ，所以重心 J 为 AQ 的中点，即 AJ = 1/2 ∙ AQ 。

而 S 为三角形 ABC 的重心，AS = 2/3 × AQ 。所以，SJ = AS – AJ = 1/6 × AQ 。

SJ : SA = (1/6) : (2/3) = 1/4 。

综上，SOSJ : SRSA = (SO : SR) × (SJ : SA) = 2/5 × 1/4 = 1/10 。

证明完毕。

玛丽恩定理还有一个一般化的版本：

如果将任意三角形的每一条边 n 等分，n 为奇数，并将等分点与其相对的顶点相连。考虑每条边上最靠近重心的两条连线，三条边上共六条连线所围成的六边形的面积是三角形面积的 8/[(3n – 1)(3n + 1)] 。

下图即 n = 5 的例子。



有兴趣的读者朋友们可以试一试，用引理证明这个一般化版本的玛丽恩定理。

唯思客俱乐部

Future_maths

用仿射变化将三角形变成正三角形，这样证明就会很简单。