平面几何的学与思 60 ——四点共圆证明角相等

luyuanhong

平面几何的学与思 60 ——四点共圆证明角相等

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 08 月 12 日 23:26  广东

之前反复谈到，四点共圆乃几何神技。圆内接四边形可包含多组相似三角形——回顾一下托勒密定理的证明吧，寻找这些相似三角形可启发思路。这一次就看看圆内接四边形中如何运用托勒密定理和四点共圆的平面几何题。

题 60 ：

在平行四边形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且满足 ∠ECD＝∠ACB ，AC 的延长线与 ΔABD 的外接圆交于点 F  。证明：∠DFE＝∠AFB 。



这是一道典型的圆内接四边形求解相等角的平面几何题，在不添加辅助线的情况下，首先想到的托勒密定理和几何神技——四点共圆，上回已述托勒密定理的思路，现在看看四点共圆的倒角……



证：

延长 DC 交 BF 于 G ，连结 EG ，

∠ABF＝∠ABD +∠DBF＝∠CDB+∠DAF＝∠CDE +∠ACB＝∠CDE+∠ECD＝∠BCE

∵ AB∥CD

∴ ∠DGF＝∠ABF＝∠CGE

∴ B、E、C、G四点共圆

∴ ∠AFB＝∠ADB＝∠CBD＝∠CGE

类似地， E、G、F、D 四点共圆，

∠DFE＝∠AFB＝∠CGE

  

四点共圆证法二：

延长 BC 交 DF 于 H ，连结 EH ，设 AC 与 BD 交于 O ，

∵ ∠ECB＝∠ACD＝∠BDF

∴ E、C、H、D 四点共圆

∴ ∠ECD＝∠DHE＝∠ACB＝∠CAD＝∠DBF

∴ E、H、F、B 四点共圆

∴ ∠EBH＝∠EFH（∠DFE）

∵ AD∥CB

∴ ∠EBH（∠DFE）＝∠ADB＝∠AFB

PS：证明角相等，常用的方法有等腰三角形两底角相等，全等或相似三角形对应角相等，平行线的同位或内错角。这些都是比较明显的，四点共圆则不太明显。在平面几何中，由一条边在这条边的同侧对着两个相等的角度，在这条边的异侧对着两个互补的角度，则考虑四点共圆，一般是利用其转化角度，尤其同弧所对圆周角相等这一性质来解题。

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