积分号与求和号在无穷区间内互换小细节疑问

永远

下图中可知 例2  的结论是对的。

陆老师给出的  定理1  明显是对有限区间才恒成立的。


而我给的 例2  是在无穷区间前提下  问积分号与求和号是怎么交换的。

首先可以肯定的是：当 \(0 < x <  + \infty \) 时，函数项级数 \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} \) 一致收敛。

请问：当函数项级数\(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} \)在无穷区间下一致收敛时，积分号与求和号 是怎么交换的？

如下，这样写有问题吗？(又或者根据给出的  定义和定理一  能不能得到下面的结论？)

\(\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}\int_0^{ + \infty } {x{e^{ - k\,x}}dx} }  = \int_0^{ + \infty } {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} } \right]dx} \)

另外附上陆老师的相关贴子：