平面几何的学与思 59 ——正方形组合中寻找全等三角形

luyuanhong

平面几何的学与思 59 ——正方形组合中寻找全等三角形

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 08 月 05 日 21:54  广东

上回谈到了正方形组合的几何题中要注意发掘全等三角形，今天再来看看类似的证明题，或许你会发现辅助线运用的一些技巧。

题 59 ：

FC 是正方形 ABCD 和 AEFG 顶点 F、C 的连线，H 是 FC 中点，求证：EH = DH 且 EH⊥DH  


       原图


          解题图

证：

设 N、M 分别是正方形 ABCD 和 AEFG 的中心，连结 MH、NH、ME、ND、AC、AF，故 M、N 分别是 AF、AC 的中点。

∵ H 是 FC 中点，MH 是 ΔAFC 中位线，

∴ MH = AC/2 ，MH∥AC

同理，NH = AF/2 ，NH∥AF

∴ 四边形 AMHN 是平行四边形

∴ NH = AM = EM ，

    MH = AN = DN ，

    ∠AMH＝∠ANH

∵ ∠EMH＝∠AMH + 90°（∠AME=90°）

   ∠DNH＝∠ANH + 90°（∠AND=90°）

∴ ∠EMH＝∠DNH

∴ ΔEMH ≌ ΔHND

∴ EH = DH，

   ∠MHE＝∠NDH，

   ∠HEM＝∠DHN，

∵ ∠MHE +∠DHN +∠EMH = 180°

   ∠EMH＝∠AMH + 90°，

   ∠DNH＝∠ANH + 90°

∴ ∠MHE +∠DHN +∠AMH = 90°

已知 NH∥AF ，则 ∠AFH＝∠CHN

∴ ∠MHE +∠DHN +∠FHM +∠CHN = 90°

∴ ∠DHE = 90°

即：EH⊥DH

太阳元素