平面几何的学与思 61 ——等腰直角三角形组合构造等腰直角三角形

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平面几何的学与思 61 ——等腰直角三角形组合构造等腰直角三角形

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 08 月 24 日 09:34  广东

前面几个例子，都是在若干个正方形的组合中，注意发现全等三角形。等腰直角三角形的组合中，这样的方法也颇为有用，今天再看一个例子。

题 62 ：

等腰直角 ΔABC 与等腰直角 ΔADE ，AC = BC ，AD = DE ，∠ADE＝∠ACB＝90° ，∠CDF = 45° ，DF与BE交于F。求证：DF⊥FC


                         原图


                   解题图

证：

已有两个等腰 RtΔ ，再作一个出来，

过 C 作 CG⊥CD ，延长 DF 交 CG 于 G ，连结 BG 。

∠CDF = 45° ，则 ΔDCG 是等腰 RtΔ 。

∵ ∠DCG＝∠ACB＝90°

   ∠DCG - ∠BCD ＝∠ACB - ∠BCD

∴ ∠DCA＝∠GCB

∵ AC = BC，DC = CG，

∴ ΔADC ≌ ΔBGC

∴ AD = BG = DE，

    ∠BGC＝∠ADC

∵ ∠BGC＝∠BGF +∠CGF

             = ∠BGF + 45°

   ∠BGF＝∠BGC - 45°

∴ ∠EDF＝∠ADC +∠CDF- ∠ADE

            ＝ ∠ADC + 45°- 90°

            ＝∠ADC - 45°

已证，∠BGC＝∠ADC

∴ ∠BGF＝∠EDF

∵ ∠BFE＝∠DFE，BG = DE

∴ ΔDEF ≌ ΔGBF

∴ DF = GF，

   F 是等腰 RtΔDCG 斜边上的中点

∴ DF⊥FC

PS：

F 是等腰 RtΔDCG 斜边上的中点，DF = CF ，依然是在构造的等腰直角三角形一次性搞定，这与平面几何的学与思 52 ——正方形与等腰直角三角形、平面几何的学与思 59 ——正方形组合中寻找全等三角形的解题思路如出一辙，你能用类似的方法证明 61 题吗？试试吧。

太阳元素

wilsony

太阳元素，名字好酷