经典奥数问题 —— 环形跑问题

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经典奥数问题 —— 环形跑问题

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 07 月 29 日 07:15  北京

在环形跑道上，甲乙两人都按顺时针方向跑时（倘若甲比乙快），每 12 分钟相遇一次。如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次。那么甲跑一圈需要多少分钟？

问题来源 ：

WMO 国际数学奥林匹克竞赛（六年级）

本题难度：

较难（★★★）

问题解析：

根据题目已知，甲乙两人向背而跑，每隔 4 分钟相遇一次，如图所示。



假设甲在这 4 分钟跑过的距离为 s(甲) ，乙在这 4 分钟跑过的距离为 s(乙)，而跑道全长为 s(跑道)，则有

s(甲)+s(乙)=s(跑道)         （1）

又知如果甲乙二人都按顺时针方向跑步，则他们 12 分钟相遇一次。如图所示。



因为甲乙的速度始终不变，所以在这 12 分钟内，甲跑过的距离是 3s(甲)（因为 4 分钟内甲跑过到距离为 s(甲) ），乙跑过的距离为 3s(乙) 。而仔细观察上图不难发现，由于相遇时甲超过乙恰好 1 圈，所以有

3s(甲)-3s(乙)=s(跑道)   （2）

综合 (1),(2)  式可得

6s(甲)=4s(跑道)

所以有 s(甲)/s(跑道)=4/6

又知甲跑过 s(甲) 的距离共用 4 分钟，所以甲跑过一圈跑道需要 6 分钟的时间。

本题还可以使用更为巧妙的算术法来求解。

当甲乙二人都按顺时针跑时，需 12 分钟甲超过乙一圈的距离，所以甲乙的速度差为 (1/12) 圈/分钟。也就是说甲每分钟比乙快跑 (1/12) 圈，那么 12 分钟后就恰好比乙多跑 12×(1/12)=1 圈。

当一人改为逆时针跑后，4 分钟后两人相遇，说明两人的速度和为 (1/4) 圈/分钟 。这样 4 分钟两人共跑 4×(1/4)=1 圈。

现在已知甲乙二人速度和为 (1/4) 圈/分钟，速度差为 (1/12) 圈/分钟，即

甲速+乙速=1/4

甲速-乙速=1/12

可用线段图表示上述关系：



因此乙的速度为 (1/4 - 1/12)÷2=1/12（圈/分钟）

那么甲的速度就是 1/12+1/12=1/6（圈/分钟）

所以甲跑完一圈需要 1÷(1/6)=6 分钟。

小猿科普