经典奥数问题 —— 盒子里的棋子

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经典奥数问题 —— 盒子里的棋子

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 07 月 11 日 07:16  北京

盒子里有棋子若干枚，每次进行以下操作：若棋子数量是奇数，则先放入 1 枚棋子，再从盒中拿走一半的棋子；若棋子数量是偶数，则先从盒中拿走一半，再放入 1 枚棋子。这样操作 2 次后，盒中棋子的数量变为原来的一半。盒子里原来最多有多少枚棋子？

题目来源：

希望杯数学邀请赛（四年级）

本题难度：

中等（★★）

问题解析：

有的同学看到题目的描述本能地想到用方程法来解决。这个思路是正确的，但是在列方程之前还有两个要确认的问题。

1. 盒子中最开始的棋子数是奇数还是偶数？

2. 第一次操作后，盒子中剩下的棋子数是奇数还是偶数？

只有确认了这两个问题，我们才能进一步根据题目的描述列出方程来。

因为题目中并没有提到最初盒子中的棋子数是奇数还是偶数，所以在讨论本题时，这两种情形都要考虑到。

另外无论最初盒子中的棋子数是奇数还是偶数，当经过如题目所述的方式进行一步操作后，剩下的棋子数是奇数还是偶数也是不确定的，因为既可能是奇数，也可能是偶数。如图所示。





所以综上所述，需要讨论的情形包括以下四种。

1.最初盒中的棋子为奇数，第一次操作后盒中棋子仍为奇数，记作（奇数-奇数）

2.最初盒中的棋子为奇数，第一次操作后盒中棋子变为偶数，记作（奇数-偶数）

3.最初盒中的棋子为偶数，第一次操作后盒中棋子变为奇数，记作（偶数-奇数）

4.最初盒中的棋子为偶数，第一次操作后盒中棋子仍为偶数，记作（偶数-偶数）

下面我们分别依据这 4 种情形列出方程，看一看哪种情况得到的结果可能是本题的答案。

假设盒子中原来有棋子 x 枚。

1. 奇数-奇数

1/2(1/2(x+1)+1)=(1/2)x

解得 x=3

但是如果 x=3 ，则第一步操作后剩下的棋子数为 (3+1)÷2=2 ，已经变成了偶数，这与（奇数-奇数）的情形不符，这说明不可能存在（奇数-奇数）的情形，使得操作两次后棋子变为原来的一半。

2. 奇数-偶数

1/2(1/2(x+1))+1=(1/2)x

解得 x=5

但是如果 x=5 ，则第一步操作后剩下的棋子数为 (5+1)÷2=3 ，已经变成了奇数，这与（奇数-偶数）的情形不符，这说明不可能存在（奇数-偶数）的情形，使得操作两次后棋子变为原来的一半。

3. 偶数-奇数

1/2((1/2)x+1+1)=(1/2)x

解得 x=4

这个结果符合题目的要求，两次操作后棋子变为原来的一半。但是我们仍然不能确定这就是答案，因为题目要求计算出盒子里原来最多有多少枚棋子，4 虽然是一个答案，但是不一定是最多的那一个，所以还需要计算一下（偶数-偶数）的情形。

4. 偶数-偶数

1/2((1/2)x+1)+1=(1/2)x

解得 x=6

这个结果符合题目的要求，两次操作后棋子变为原来的一半，并且 6 也是结果中最大的那个。

所以盒子里原来最多有 6 枚棋子。

小猿科普