已知 {sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ} ， 求 tanθ

波斯猫猫

网来一题：

已知{sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ}，

求tanθ.

Treenewbee

\[\sin ^2(\theta )+\sin ^2(2 \theta )+\sin ^2(3 \theta )=\cos ^2(\theta )+\cos ^2(2 \theta )+\cos ^2(3 \theta )=\frac{3}{2}\]
\[\sin (\theta ) \sin (2 \theta ) \sin (3 \theta )=\cos (\theta ) \cos (2 \theta ) \cos (3 \theta )\]


\[\tan (\theta ) \tan (2 \theta ) \tan (3 \theta )=1\]
\[\cos (2 \theta )+\cos (4 \theta )+\cos (6 \theta )=0\]

化简可得：\[tan(\theta )=\sqrt2-1\] or \[tan(\theta )=-\sqrt2-1\]

Treenewbee

或者：
若 \[sin (\theta )+\sin (2 \theta )+\sin (3 \theta )=\cos (\theta )+\cos (2 \theta )+\cos (3 \theta )=0\],可解得 \[\theta =2 k\pi \pm \frac{2 \pi }{3}\],验算发现两个集合的和值相等但集合并不相等。
故\[ \frac{sinθ + sin2θ + sin3θ}{cosθ + cos2θ + cos3θ}=\frac{ sin2θ + 2 sin2θ cosθ}{ cos2θ + 2 cos2θ cosθ}=\frac{ sin2θ }{ cos2θ }=tan2θ=1\]
解得：\[tan\theta=\pm \sqrt2-1\]

波斯猫猫

已知{sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ}，求tanθ.

思路：∵{sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ}，

∴ sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ，

sin2θ+2sin2θcosθ=cos2θ+2cos2θcosθ，

(sin2θ-cos2θ)(2cosθ+1)=0，

∴tan2θ=1，或cosθ=-1/2. 以下是验证，

当tan2θ=1时，θ=kπ/2+π/8，2θ=2kπ/2+2π/8，

3θ=3kπ/2+3π/8，(k∈Z)，

(1)k为偶数时，

sinθ=±sin(π/8)，sin2θ=sin(2π/8)，sin3θ=±sin(3π/8)
                     
cosθ=±cos(π/8)=±sin(π/2-π/8)=±sin(3π/8)=sin3θ，
                       
cos2θ=cos(2π/8)=sin(2π/8)=sin2θ，
                     
cos3θ=±cos(3π/8)=±cos(π/2-π/8)=±sin(π/8)=sinθ

(2)k为奇数时，可同样验证，略.

当cosθ=-1/2时，θ=(2k+1)π±π/3，cos2θ=cos(±2π/3)=-1/2，

∴ cosθ=cos2θ (不满足元素的互异性，舍去).

故由tan2θ=1易得，tanθ=±√2-1.

波斯猫猫

已知∣(sinθ，sin2θ，sin3θ)∣=∣(cosθ，cos2θ，cos3θ)∣，求tanθ.
(又该如何应对？)