经典奥数问题 —— 计算梯形的面积

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经典奥数问题 —— 计算梯形的面积

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 09 月 09 日 07:15  北京

在梯形 ABCD 中，E、F 分别是其两腰 AB、CD 的中点，G 是 EF 上的一点，已知 ΔADG 的面积为 15 平方厘米，而 ΔBCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的 7/20 ，则梯形 ABCD 的面积是多少？



问题来源 ：

陈省身杯国际数学邀请赛（六年级）

本题难度：

较难（★★★）

问题解析：

本题已知 ΔADG 的面积，以及 ΔBGC 在梯形 ABCD 面积中的占比，要计算梯形 ABCD 的面积是多少。所以我们只要知道 ΔADG 的面积在梯形 ABCD 面积中的占比，就可以通过“单位 1 =已知量÷对应分率”的方法计算出梯形的面积。

如何计算 ΔADG 在梯形 ABCD 面积中的占比呢？直接计算不太容易，我们需要借助梯形中的另外两个三角形： ΔAGB 和 ΔDGC 来计算。

以 ΔAGB 为例，很显然 ΔAGB=ΔAEG+ΔBEG ，又因为 E、F 是梯形两腰的中点，所以 ΔAEG 和 ΔBEG 是等底等高的两个三角形，其面积相等。不妨假设 EG=a ，ΔAEG 和 ΔBEG 的高均为 h ，则 SΔAGB=(1/2)ah×2=ah 。

同理，如果设 GF=b ，ΔDGF 和 ΔCGF 的高均为 h ，则 SΔDGC=(1/2)bh×2=bh 。

所以 SΔAGB+SΔDGC = ah+bh = (a+b)h 。



假设梯形上底的长度为 AD=c ，下底的长度 BC=d ，则梯形的面积就是 (c+d)×2h÷2=(c+d)h 。

又因为EF是梯形ABCD的中位线，所以 EF=(AD+BC)/2 ，即 a+b=(c+d)/2 ，也就是 c+d=2(a+b) ，因此梯形 ABCD 的面积也可表示为 2(a+b)h 。

很显然，ΔAGB 与 ΔDGC 的面积之和【(a+b)h】恰好是梯形 ABCD 面积【2(a+b)h】的一半。

于是我们就很容易计算出 ΔADG 的面积在梯形 ABCD 的面积中的占比了。这个比率就是 1-1/2-7/20 = 3/20 。



所以梯形的面积为 15÷(3/20) = 100 平方厘米。

采用上述方法解决本题，关键是要想到通过 ΔAGB 和 ΔDGC 的面积计算出 ΔADG 在梯形 ABCD 面积中的占比，进而求出整个梯形的面积。同时还必须知道梯形中位线长度等于上底加下底的一半。其实本题还可使用方程法（代数法）来求解。

假设梯形 ABCD 的上底的长度为 AD=a ，下底的长度 BC=b ，梯形的高为 2h ，如图所示。



则梯形 ABCD 的面积为 S梯形 = 2h(a+b)/2 = (a+b)h 。

又因为 ΔAGD 的面积为 15 平方厘米，即 ah/2=15 ；ΔBCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的 7/20 ，即 bh/2 = (a+b)h×7/20 。

所以有：



(a+b)h 就是梯形的面积，因此梯形的面积为 100 平方厘米。

小猿科普