2000年第39届德国数学奥林匹克10年级第一天第3题

雪王子

一个立方体\( ABCD-EFGH \)被平面\( AFH \)、\( BEG \)、\( CFH \)、\( DEG \)、\( EBD \)、\( FAC \)、\( GBD \)、\( HAC \)划分成若干部分。

(a) 求这些部分的数量。

(b) 计算每一部分的体积。

雪王子

想象不出来

雪王子

（a）先来找经过正方体顶点的部分：
以点E为例。
首先，平面AFH将正方体分割成了两部分，其中包含E的那部分为三棱锥E-AFH，因此只需看三棱锥E-AFH的分割。
设立方体中经过点E的四个面ABFE、ADHE、EHGF的中心分别是I，J，H。
则线段IJ、JK、KI分别是平面AFH和平面EBD、EDG、EBG的交线在正方体内部的部分，线段EI，EJ，EK分别是EB、ED、EG的一部分，所以IJ、JK、KI、EI，EJ，EK都是分割线，它们把三棱锥E-AFH分割成了四部分：E-AIJ，E-FIK，E-HKJ，E-IJK。其中前三个经过正方体的两个顶点，第四个经过正方体的一个顶点。
所以分割得到的所有部分中，有4个经过了点E，其中3个经过正方体的两个顶点，1个只能经过点E。
根据对称性，经过其他每个顶点的部分也分别有4个，其中3个经过正方体的两个顶点，1个只经过该顶点。
正方体一共8个顶点，所以经过正方体的顶点的部分一共有3×8÷2+8=20个。
再找不经过正方体顶点的部分。
题目给出的8个初始分割平面由三条首尾相连的对角线生成的，而且包含了所有满足要求的情况。
以AFH为例，它和平面EBD、EDG、EBG相交，交线分别是IJ、JK、KI，即三个相邻面的中心的三条连线。而它与平面FAC、CFH、HAC的交线分别是AF、FH、AH，即围成自身的三边，另外，它与平面BDG平行。
根据对称性，对于任何一个面，它与一个面平行，与三个面相交于围成自身的三边，与三个面相交于三条相邻面的面心连线。
所以最终的图形中，不经过顶点的分割线一定是各个相邻面的面心的连线，它们构成了一个正八面体。
所以这样的部分只有一个。
综上，正方体一共被分割成了20+1=21部分。

（b）20个三棱锥的体积都等于E-AFH的1/4，也就是1/24平方单位。中间八面体的体积为1-20*（1/24）=1/6平方单位。