两盒各有 3 颗糖，每次随机选一盒吃一颗，到某盒吃完为止，求这时另一盒糖数的期望值

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請問數學

Ysu2008

为方便叙述，以下我们设盒子分别为装了 3 颗红球的红盒，以及装了 3 颗绿球的绿盒。每一次取球都有 1/2 概率选中其中一盒。

我们不妨只考虑红盒与红球取完的情况，分为以下三种情况：

(1) 取 3 次取完红球（这意味着绿盒还剩 3 颗球)
每一次取球都有 1/2 概率取中红盒，连续 3 次都取到红球的概率为 \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

(2) 取 4 次取完红球（这意味着绿盒还剩 2 颗球)
前 3 次取球只取到 2 颗红球的概率(根据二项分布概率公式)为 \(\binom{3}{2}\left( \frac{1}{2}\right)^2\left( 1-\frac{1}{2}\right)^{3-2}=\frac{3!}{2!1!}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\)
第 4 次有 1/2 概率取到红球；
所以，取 4 次取完红球的概率为 \(\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{16}\)

(3) 取 5 次取完红球（这意味着绿盒还剩 1 颗球)
前 4 次取球只取到 2 颗红球的概率(根据二项分布概率公式)为 \(\binom{4}{2}\left( \frac{1}{2}\right)^2\left( 1-\frac{1}{2}\right)^{4-2}=\frac{4!}{2!2!}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{6}{16}\)
第 5 次有 1/2 概率取到红球；
所以，取 5 次取完红球的概率为 \(\frac{6}{16}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{16}\)

因为绿球和红球是对称的，剩 n 颗红球的概率 = 剩 n 颗绿球的概率，所以取完一盒球，
另一盒剩 3 颗球的概率为 \(\frac{1}{8}\times2=\frac{1}{4}\)
另一盒剩 2 颗球的概率为 \(\frac{3}{16}\times2=\frac{6}{16}\)
另一盒剩 1 颗球的概率为 \(\frac{3}{16}\times2=\frac{6}{16}\)

\(\therefore\) 另一盒剩球的期望值为 \(3\times\frac{1}{4}+2\times\frac{6}{16}+1\times\frac{6}{16}=\frac{15}{8}\)

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答已收藏。下面是我对更一般的情形给出的解答：

luyuanhong

luyuanhong