在 ΔABC 中，a＜b＜c，且 tanA，tanB，tanC 都是整数，求 tanA+tanB+tanC

波斯猫猫

在△ABC中，a＜b＜c，且tanA，tanB，tanC

都是整数，求tanA+tanB+tanC.

luyuanhong

波斯猫猫

思路：在△ABC中，tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，

∴ tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)，

或tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.  ⑴

又a＜b＜c，且tanA，tanB，tanC都是整数，

∴ tanB＞tanA≥1，且tanB≥2.

∴ tanC＞0，且tanC≥3.

∴tanC＞tanB＞tanA (△ABC为锐角三角形).

由⑴有3tanC＞tanAtanBtanC，

∴ 3＞tanAtanB，即tanAtanB≤2，

或tanA=1，tanB=2.从而tanC=3.

故tanA+tanB+tanC=6.

luyuanhong

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波斯猫猫

思路：记tanA=x，tanB=y，tanC=z.

在△ABC中，tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，

∴ z=(x+y)/(xy-1)，或x+y+z=xyz.  ⑴

又a＜b＜c，且x，y，z都是整数，

∴ y＞x≥1，且y≥2.  ∴ z＞0，且z≥3.

∴ z＞y＞x (△ABC为锐角三角形).

由⑴有3z＞xyz，∴ 3＞xy，即xy≤2，

或x=1，y=2. ∴ z=3.  x+y+z=6.