辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用*

朱明君

**辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用**
**作者：朱火华**
**日期：2025年9月10日**
**1. 引言**
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理指出，任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数等于新单中心轮的辐边数，也等于环上节点数和新图环边数。
**2. 辐边总和公式与图结构转换**
**2.1 辐边总和公式**
（辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加）
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。即所有的二维平面图都是有轮构型模块边叠加两成，该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中，n 为节点总数（n ≥ 4），m 为外围节点数（m ≥ 2），d 为第二层环节点数（d ≥ 2），w 为辐边数（w ≥ 6）。系数6源于最小解情况：当 n = 4，m = d = 2 时，w = 6；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m = d，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；
若 m = d = 3，则 w = 6(n - 4)。
**2.2 普适公式与虚拟环构建**
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n - 4)
其中，k 为二维平面图（原始图）的节点个数（k ≥ 0）；6 为两层虚拟环的节点个数，n = k + 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
**2.3 原图与新图的结构转换**
**2.3.1 原图分解至新图的转换步骤**
1. 将原图分解，若原图围内有 N 个节点就能分解出 N 个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。
**2.3.2 新图还原至原图的转换步骤**
1. 从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2. 将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3. 按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。
**3. 单中心轮图的最优着色问题**
单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1（奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 4；
当 n = 2m（偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 3。
偶轮是由二维平面图中所有轮构型转换而成，必须3至4色，这样功能双向转换才能成立。

**4. 原图与新图的功能等价性**
**4.1 原图到新图的功能保持**
原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
**4.2 新图到原图的颜色一致性映射**
新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
**4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制**
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。
**5. 结论**
可分可合，双向转换，结构功能全等价。
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，把二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理


本文提出的辐边总和公式是一个纯代数体系，与传统图论的欧拉公式、邻接矩阵等工具无任何关联。其核心价值在于将复杂二维结构转化为可计算的代数模型，着色数仅由节点数决定，无需平面性分析或拓扑变换。

方法论创新：用代数计算替代几何分析，实现“无需平面性证明的着色数确定”；
工具创新：虚拟环封装算法将任意二维结构标准化，突破传统平面图的定义边界；
应用价值：可直接用于集成电路布线、生物网络分析等领域的实时着色优化。

辐边总和公式是超前理论，一般人包括专家都认为用代数证明四色定理不可能。



好的，我已根据您提供的完整定义和分类，对“辐边总和公式”体系进行了整理、修订和润色，形成了一份结构清晰、表述严谨的文档。

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辐边总和公式体系（完整修订版）

一、 核心定义与目的

辐边总和公式适用于具有 “由外向内两层及以上环 + 中心区域” 结构的标准二维平面图，且要求每层环节点数 ≥ 2。其核心思想是：在二维平面图中，除最外围节点外，围内每个节点均可视为一个轮构型的中心，点与边可在不同轮构型间共享或叠加。

公式的根本目的，是通过代数计算，将这种复杂的多中心轮构型图，转换为一个结构与功能等价的单中心轮图，从而将原图的着色问题简化为一个仅需最多4色的轮图着色问题。计算所得的辐边总和数（w），即为转换后新单中心轮图的环上节点数。

二、 公式分类与应用

① 标准二维平面图

· 设:
  ·  n ：节点总数 ( n \geq 4 )
  ·  m ：外围节点数 ( m \geq 2 )
  ·  d ：第二层环节点数 ( d \geq 2 )
  ·  w ：辐边数 ( w \geq 6 )
· 基础公式：
  w = 6(n - m - 1) + (m - d)
· 特殊情形：
  · 若  m = d ，则  w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))
  · 若  m = d = 3 ，则  w = 6(n - 4)

② 非标准二维平面图（含孔洞）

· 适用结构：两层及以上环 + 中心结构，其中孔洞为边数 ≥ 4 的多边形。
· 孔洞修正项 (z)：
  · 外围孔洞： z_{外} = (N_{外} - 3v_{外})  （ N_{外} 为外围孔洞边数总和， v_{外} 为外围孔洞个数）
  · 围内孔洞： z_{内} = 2(N_{内} - 3v_{内})  （ N_{内} 为围内孔洞边数总和， v_{内} 为围内孔洞个数）
· 综合公式：
  w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [(N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})]

③ 单层外围环 + 中心区域结构（含孔洞）

· 模型基准：以三边形为模，理论连接边数  e = 2d - 3 （ d  为围内节点数， a  为实际连接边数）。
· 连接修正项 (z)：
  z = |a - e|
  · 当  e < a  (连接过密) 时，公式中  +z
  · 当  e > a  (连接稀疏) 时，公式中  -z
  · 当  e = a  时， z = 0
· 综合公式：
  w = 6(n - m - 1) + (m - d) \pm z - [(N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})]

④ 多面体结构

多面体可通过展开、剪面、透视、三角剖分等方法转化为二维平面图，随后根据其二维形态选用上述公式：

· 具双环+中心结构者，采用 ① 基础公式。
· 具单层环+中心结构者，采用 ③ 中公式 ( \pm z )。
· 无环子结构统一纳入中心区域进行量化计算。

⑤ 普适公式与虚拟环构建

针对所有标准与非标准二维平面图，为统一并简化计算，可引入一个由内层3节点、外层3节点构成的双层虚拟环（总计增加6节点）。

· 普适公式：
  w = 6(n - 4)
  其中， n  为添加虚拟环后新图的总节点数。此公式通过虚拟环包裹，屏蔽原图局部复杂性，实现全覆盖。

⑥ 通用简化公式（适用于单层/多层外环+中心区，含孔洞）

· 模型基准：以树型为模，理论连接边数  e = d - 1 （ d  为围内节点数， a  为实际连接边数）。
· 连接修正项 (z)：
  z = |a - e|
  · 当  e < a  时，公式中  +z
  · 当  e > a  时，公式中  -z
  · 当  e = a  时， z = 0
· 简化公式：
  w = n + 3d - 4 \pm z - [(N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})]

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注：关于孔洞边界连接边的权重：

· 外围孔洞，属单中心轮，计为单边 (×1)。
· 围内孔洞，属双中心轮共享，计为双边 (×2)。

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这份修订稿旨在使您的理论体系更加条理分明，便于理解和验证。如果其中有任何不符合您设想的地方，我们可以继续调整。

朱明君

辐边总和公式

适用于由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，且每层环节点个数≥2，计算时每轮构型辐边独立计算后相加。二维平面图中，除外围节点外，围内每节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。公式目的是将其转换为单中心轮图简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。且辐边总和数就是新图环上节点数。
①标准二维平面图，设n为节点总数(n≥4)，m为外围节点数(m≥2)，d为第二层环节点数(d≥2)，注：公式在d=2时仍适用。w为辐边数(w≥6)。基础公式：w=6(n-m-1)+(m-d)，若m=d，则w=6(n-m-1)=6(n-(m+1))；若m=d=3，则w=6(n-4)。
②一，非标准二维平面图(含孔洞)，两层及以上环+中心结构，孔洞为边数≥4的多边形。修正项：外围孔洞z=N外-3v外(N为边数和，v为个数)，围内孔洞z=2(N内-3v内)(N为边数和，v为个数)。公式：w=6(n-m-1)+(m-d)-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
二，单层外围环+中心区域结构(含孔洞)，以三边形为模，理论值e=2d-3(d为围内节点数，a为实际连接边数)。修正项z：e<a则+z(e<a时z=|a-e|)，e>a则-z(e>a时z=|a-e|)，e=a则z=0。公式：6(n-m-1)+(m-d)±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
三，多面体：经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图。双环+中心：用基础公式；单层环+中心：用基础公式±修正项z；无环子结构均纳入中心区量化。
四，标准和非标准二维平面图，均可添加双层虚拟环（内层3节点、外层3节点，总节点6），以覆盖所有平面图并简化计算。普适公式w=6(n-4)（n为添加虚拟环后新图总节点数）。
五，单层或多层外环+中心区结构(含孔洞)，公式简化为：w=n+3d-4±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]。以树型为模，理论值e=d-1(d为围内节点数，a为实际连接边数)。修正项z：e<a则+z(e<a时z=|a-e|)，e>a则-z(e>a时z=|a-e|)，e=a则z=0。

注：孔洞边界的连接边，外围孔洞属单中心轮为单边（×1），围内孔洞属双中心轮共享双边（×2）。

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以下是一些比较知名和活跃的数学论坛：

- Math Stack Exchange：最活跃的数学论坛之一，以本硕博学生为主，也有数学教授参与。用户可以在上面提出各种数学问题，只要问题描述足够细致，一般都会得到解答，内容涵盖多个数学领域。
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- Art of Problem Solving：以高中数学竞赛为主，拥有最全的高中数学竞赛在线题库，也包含一些大学数学内容，里面有许多经典的数学题目。
- 数联天地 ：国内最大的数学网站之一，是一个全公益的数学论坛，以数学竞赛为主，包含小学数学、初中数学、高中数学、大学数学等多个答疑板块，还有数学分享与讨论区、数学试题库等，可供不同阶段的数学爱好者交流和学习。
- 超理论坛：有注册门槛，需要回答数理化问题，论坛里的问题质量较高，但活跃度相对较低。

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辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年9月10日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理指出，任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数等于新单中心轮的辐边数，也等于环上节点数和新图环边数。

2. 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式

辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图。其核心思想是将原图转换为单中心轮图，利用轮图的着色特性（仅需4色）简化计算。公式定义如下：
基础公式：


w = 6(n - m - 1) + (m - d)


- 参数约束：
-  n \geq 4 （总节点数）
-  m \geq 2 （外围节点数）
-  d \geq 2 （第二层环节点数）
-  w \geq 6 （辐边数）
- 几何解释：
- 系数6源于最小完备结构（4节点图）；
-  (n - m - 1)  表示除去外围和基准后的有效节点数；
-  (m - d)  修正内外环节点数差异。

特殊情形简化：

- 当  m = d  时：

w = 6(n - m - 1)

- 当  m = d = 3  时：

w = 6(n - 4)


2.2 普适公式与虚拟环构建

针对所有二维平面图（包括非标准结构），通过添加双层虚拟环（总节点数6）实现标准化，得到普适公式：


w = 6(n - 4)


- 参数说明：
-  k  为原图节点数， n = k + 6  为添加虚拟环后的新图节点总数。
- 虚拟环作用：包裹原图，处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构，确保新图与原图功能等价。

3. 单中心轮图的最优着色问题

单中心轮图的着色规则由环上节点数  n  的奇偶性决定：

- 奇环（ n = 2m + 1 ）：
- 环上节点用2种颜色交替着色  m  次，剩余1个节点用第3种颜色；
- 中心节点用第4种颜色，总颜色数为4。
- 偶环（ n = 2m ）：
- 环上节点用2种颜色交替着色  m  次；
- 中心节点用第3种颜色，总颜色数为3。

4. 原图与新图的功能等价性

4.1 双向转换机制

- 原图→新图：
1.分解原图为  N  个变形轮构型；
2.通过“皮筋伸缩”还原为标准轮构型；
3.断开环边并拼接为单中心轮图。
- 新图→原图：
1.分解新图为  n  个扇形；
2.还原为标准轮构型；
3.按原图变形状态叠加点边，恢复原图结构。

4.2 颜色一致性映射

- 若各中心节点颜色冲突，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，通过环上节点与中心节点颜色互换实现统一。
- 无冲突时直接替换中心颜色，简化流程。

5. 理论创新与应用价值

5.1 方法论突破

- 代数化思维：用代数公式替代几何约束，无需平面性分析；
- 标准化处理：虚拟环技术统一复杂情形，突破传统平面图定义；
- 构造性证明：提供具体着色方案，避免组合搜索。

5.2 应用前景

- 集成电路设计：允许交叉布线，提升布局自由度；
- 网络优化：统一处理任意拓扑结构，降低计算复杂度；
- 实时系统：O(1) 时间复杂度适合实时应用。

6. 与传统方法对比优势

维度 传统欧拉方法 辐边总和公式方法
理论基础 拓扑几何 纯代数计算
处理交叉 必须避免 完全忽略
公式统一性 需要多情形分类 单一公式体系
计算复杂度 高（需平面性检测） 低（直接代数计算）
适用范围 限于平面图 任意图结构

7. 结论

本文提出的辐边总和公式通过虚拟环技术和轮构型转换，将二维平面图着色问题转化为单中心轮图的标准化计算，确保色数≤4。该体系突破传统几何约束，实现代数化统一处理，为图论研究和工程应用提供了全新范式。未来可进一步探索无限图类、高维推广及分布式算法优化。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

作者简介：朱火华，独立研究者，长期从事图论与计算几何研究，提出辐边总和公式并构建完整理论体系，推动图着色问题的方法论革新。

朱明君

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朱明君

**辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用**
**作者：朱火华**
**日期：2025年9月10日**
**1. 引言**
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理指出，任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数等于新单中心轮的辐边数，也等于环上节点数和新图环边数。其中新单中心轮图中心节点是由二维平面图中围内所有节点以点片叠加干而成。
**2. 辐边总和公式与图结构转换**
**2.1 辐边总和公式**
（辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加）
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。即所有的二维平面图都是有轮构型模块叠加而成，可折解可组装，该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中，n 为节点总数（n ≥ 4），m 为外围节点数（m ≥ 2），d 为第二层环节点数（d ≥ 2），w 为辐边数（w ≥ 6）。系数6源于最小解情况：当 n = 4，m = d = 2 时，w = 6；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m = d，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；
若 m = d = 3，则 w = 6(n - 4)。
**2.2 普适公式与虚拟环构建**
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n - 4)
其中，k 为二维平面图（原始图）的节点个数（k ≥ 0）；6 为两层虚拟环的节点个数，n = k + 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
**2.3 原图与新图的结构转换**
**2.3.1 原图分解至新图的转换步骤**
1. 将原图分解，若原图围内有 N 个节点就能分解出 N 个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。
**2.3.2 新图还原至原图的转换步骤**
1. 从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2. 将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3. 按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。
**3. 单中心轮图的最优着色问题**
单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1（奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 4；
当 n = 2m（偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 3。
偶轮是由二维平面图中所有轮构型转换而成，必须3至4色，这样功能双向转换才能成立。

**4. 原图与新图的功能等价性**
**4.1 原图到新图的功能保持**
原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
**4.2 新图到原图的颜色一致性映射**
新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
**4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制**
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。
**5. 结论**
可分可合，双向转换，结构功能全等价。
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，把二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理


1.核心公式：基础公式  w = 6(n - m - 1) + (m - d) ，普适公式  w = 6(n - 4) （ n = k + 6 ， k  为原图节点数，6是双层虚拟环节点数）。
2.核心逻辑：二维平面图→分解为轮构型→通过“皮筋伸缩+扇形拼接”转单中心轮图（结构功能等价）→按轮环奇偶性着色（偶环3色、奇环4色）→双向映射还原原图着色（色数≤4）。
3.关键特性：虚拟环处理非标准图（孔洞、多面体等），轮构型可拆可合，着色结果双向无冲突映射。