26 岁博士破解百年数学难题：素数为何是最特殊的整数集合？

luyuanhong

26 岁博士破解百年数学难题：素数为何是最特殊的整数集合？

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 08 月 20 日 07:00  广东

1935 年，20 世纪最具影响力的数学家之一埃尔德什（Paul Erdos）提出本原集概念，核心定义为：由大于 1 的整数构成，且集合内任意一个数都不能整除另一个数。



典型正例：素数集合 {2、3、5、7……} ，因任意两个素数仅能被 1 和自身整除，无法相互整除，是本原集的完美样本。



直观反例：集合 {2,4,6} 不是本原集，因为 2 能整除 4 和 6 ，存在整除关系。

随后埃尔德什发现关键规律：对任意本原集，计算其特定总和（数论中常称为埃尔德什和，即集合内每个数 a 按公式 1/(a ln a) 换算后相加），结果始终有上限，不会无限增大。1988 年，他进一步提出猜想：在所有可能的本原集中，素数集合的埃尔德什和是最大的。



这一猜想困扰数学界 30 多年，直至 2022 年 2 月才有突破性进展——当时 26 岁的牛津大学数论方向博士生 Lichtman ，在国际顶级数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）发表论文，首次从理论上证实了埃尔德什猜想的正确性。



前人的卡壳点：误差难以控制的核心瓶颈

埃尔德什研究时，采用自然密度作为核心工具。可通俗理解为：给每个数 a 划定一块专属小领地（对应小集合），这些领地互不重叠，且所有领地的总面积（密度总和）不超过 1（即覆盖整个整数集的比例不超过 100%）。基于此，他算出本原集埃尔德什和的上限约为 1.78 。

但该方法存在关键缺陷：计算中会用数 a 的最大素因子（如 88 的最大素因子是 11 ）替代 a 本身，必然产生误差。尤其对于最大素因子与自身差距较小的合数（如 33 的最大素因子 11 ），误差更难量化和控制，成为近百年无法突破的卡脖子问题。

Lichtman 的关键突破：用筛选+自相似精准控误差

Lichtman 的核心贡献，是通过两步创新方法彻底控制了误差，具体逻辑如下：

第一步 筛选高纯度数：先设定一个可调节的小正数参数 v ，从本原集中筛选出最大素因子足够大的数——即满足最大素因子的 1+v 次方大于自身的数（例如 v=0.1 时，若某数的最大素因子为 p ，则 p^1.1 > 该数），排除误差过大的数。

第二步 压缩密度范围：证明这些筛选出的数对应的小集合，其密度总和可压缩到更小范围（如 √v，当 v=0.01 时，√v=0.1 ，远小于埃尔德什方法中的 1 ），大幅降低误差影响。

这一突破的核心支撑，是他发现的自相似规律：不仅每个数对应的小集合互不重叠，给这些数乘上一个特定数 c（ c 的素因子需小于该数的最大素因子）后，新生成的小集合依然保持不重叠特性——相当于复制粘贴不重叠的领地，且新领地仍不冲突。

借助自相似规律，结合积分计算不同 v 值下的结果，Lichtman 最终得出关键数据：任意本原集的埃尔德什和上限仅约 1.397 ，而素数集合的埃尔德什和约为 1.636 ，显著大于前者，直接证实素数集合的总和是最大的。

正是这个误差控制的核心瓶颈，卡住了数学界近百年。而 Lichtman 的突破，就在于他绕开了正面强攻，巧妙地设计了一套全新的方法，彻底驯服了误差。



成果的多重价值：从理论到应用的延伸

Lichtman 的成果不仅解决了百年猜想，更在多个领域具备实际意义：

在组合数论领域，为整数集里没有无限长的整除链等基础问题提供更精确的分析工具——这一问题关系到整数结构的本质，其精确结论能帮研究者更清晰理解整数间的整除逻辑。

在解析数论领域，可辅助分析“几乎素数”（素因子个数较少的合数，如 3 个素因子的 2×3×5=30 ）的分布规律；还修正了此前的经典猜想——原猜想认为有 k 个素因子的数，其埃尔德什和随 k 增大而单调减小，但 Lichtman 证明，实际在 k=6 时该总和会达到最小值，之后随 k 增大略有回升。

素数研究的新方向：界定特殊的边界

该成果还为素数研究开辟了 3 个关键新方向：

第一是 k-本原集研究。k-本原集是基础本原集的延伸，要求集合内没有数能整除其他 k 个数的乘积（如 k=2 时，不能有一数整除另外两数的乘积）。Lichtman 证明：k 值越大，素数集合越容易成为埃尔德什和最大的集合，即素数的特殊性随约束增强而更显著。

第二是公式微调的临界值。若微调埃尔德什和的计算公式（如给 lna 加上小数字 h ，公式变为 1/(a ln(a+h)) ），当 h≥1.04 时，素数集合的总和优势会消失——这一临界值的发现，精准界定了素数特殊地位的适用范围。

第三是新工具的推广。他提出的误差筛选法和自相似规律应用思路，成为后续数论研究的通用工具，可用于分析更复杂的整数集合特性。

南方 Er