25 清华求真预推免完整试题｜数分压轴｜这个单调结果一年内真题出现超过 3 次！

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25 清华求真预推免完整试题｜数分压轴｜这个单调结果一年内真题出现超过 3 次！

原创  清疏数学  清疏竞赛考研数学  2025 年 08 月 28 日 10:36  重庆

下面的题目来自我们参加清华求真预推免同学的多日前的提问。

题目



分析

解决本题的关键是熟练掌握我们讲义中的有关凹凸性的结论和一个最弱递增条件！（即结论 2 的 1 ）值得注意的是这个结果在近 1 年考试中类似物或者原题反复出现，例如 2025 浙江大学考研题！

结论 1 ：



结论 2 ：



结论 3 ：



证明

由凹凸性和割线斜率的关系以及下凸函数必有递增的左（右）导数，实际上我们只需证明 f 有递增左（右）导数时 f 是下凸函数。



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