让你立刻爱上数学的 8 个算术游戏

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让你立刻爱上数学的 8 个算术游戏

原创  顾森  图灵新知  2025 年 09 月 22 日 10:00  北京

文科背景的朋友们经常会问我一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪 里？此时，我通常会讲一些简单而又深刻的算术游戏，让每个只会算术的人都能或多 或少地体会到一些数学的美妙。如果你从小就被数学考试折磨，对数学一点好感都没 有，那么我相信这一节内容会改变你的态度。

01  数字黑洞



02  特殊乘法的速算

如果两个两位数的十位数相同，个位数相加为 10 ，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果把这两个数分别写作 AB 和 AC ，那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A+1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。

比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10 ，因而它们乘积的前两位就是 4x(4+1)=20 ，后两位就是 7x3=21 。也就是说，47x43=2021 。

类似地，61x69=4209 ，86x84 =7224 ， 35x35=1225 ，等等。

这个速算方法背后的原因是，(10x+y) (10x+10-y) = 100x(x+1)+y(10-y) 对任意 x 和 y 都成立。

03  翻倍，再翻倍！

将 123 456 789 翻倍，你会发现结果仍然是这 9 个数字的一个排列：

              123 456 789 x 2 = 246 913 578

我们再次将 246913578 翻倍，发现：

               246 913 578 x 2 = 493 827 156

结果依旧使用了每个数字各一次。这仅仅是一个巧合吗？我们继续翻倍：

               493 827 156 x 2 = 987 654 312

神奇啊，一个很有特点的数 987 654 312 ，显然每个数字又只用了一次。 你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成 10 位数了。不过，请看：

               987 654 312 x 2 = 1975 308 624

又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字 0 。再来？

                1975 308 624 x 2 = 3 950 617 248

恐怖了，又是每个数字各出现一次。 出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。 但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。

到了第6次后，虽然仍然是 10 位数，但偏偏就在这时发生了意外：

              3 950 617 248 x 2 = 7 901 234 496

看来，寻找一个合理的解释，并不是一件轻而易举的事情。

04  唯一的解

经典数字谜题：用 1 到 9 组成一个九位数，使得这个数的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除，依此类推，一直到整个九位数能被 9 整除。

没错，真的有这样猛的数：381 654 729 。其中 3 能被1整除，38 能被2整除，381 能被3整除，一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也可以利用计算机编程找到。

另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362 880 个不同的九位数中，381 654 729 是唯一一个满足要求的数！

05  幻方之幻

一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3x3 的方格，使得每一行、每一列以及两条对角线的 3 个数之和正好都相同。图 1 就是一个三阶幻方，每条直线上的 3 个数之和都等于 15 。



大家或许都听说过幻方这东西，但是并不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有



利用线性代数，我们可以证明这个结论。

06  天然形成的幻方

从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18 。像图 2 那样把这 18 个循环节排成一个 18x18 的数字阵，这将恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 。



07  一个小魔术

在一张纸上并排画 11 个小方格，叫你的好朋友背对着你（让你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间的数。从第 3 个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第  10 个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是 7 和 3 ，那么前 10 个方格里的数分别是：



现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，稍作计算你便能猜出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！

其实，仅凭借第 10 个数来推测第11个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数乘以 1.618 ，得到的乘积就是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 249 x 1.618 = 402.882，约等于 403 ，因此你可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 403 。而事实上，154 与 249 相加真的就等于403。

其实，不管最初两个数是什么，按照这种方式加下去，相邻两数之比总会越来越趋近于 1.618 ——这个数正是传说中的“黄金分割”。

08  3 个神奇的分数

1/49 化成小数后等于 0.0204081632…，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是 2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。

100/9899 等于 0.01010203050813213455…，两位两位断开后，得到的正好是著名的斐波那契（Fibonacci）数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ，数列中的每一个项都是它前面两个项之和。

而 100/9801 则等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223…。

利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象产生的原因。

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