阿瑟·凯莱：用矩阵构建现代科学的沉默巨匠

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阿瑟·凯莱：用矩阵构建现代科学的沉默巨匠

原创  数理周六  数理拾光  2025 年 08 月 16 日 19:54  北京



在科学的宏伟殿堂中，有些名字如雷贯耳，他们的理论构成了我们理解宇宙的基石。然而，在这座殿堂的最深处，镌刻着一个更为根本的名字，他的思想并非一块基石，而是建造这座殿堂所用的“语言”本身。

这个人，就是阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）。当维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）在 1925 年为量子力学奠基时，他所使用的革命性数学工具——矩阵代数，正是源于凯莱半个多世纪前在孤独的沉思中创造的杰作。

可以毫不夸张地说，凯莱是 19 世纪英国最卓越的纯粹数学家，一位几乎凭借一己之力，便为后世物理学革命铺平了道路的沉默巨匠。他的非凡之处在于，其一生中最具颠覆性的工作，竟是在他作为一名“业余”数学家时完成的。

一、林肯律师公会的“数学幽灵”

1846 年，25 岁的阿瑟·凯莱做出了一个看似与他天赋背道而驰的决定。这位刚刚在剑桥大学三一学院以“高级牧马人”（Senior Wrangler ，指毕业考试第一名）和史密斯奖第一名的最高荣誉毕业、被公认为同代人中最耀眼的数学天才，却选择离开学术的象牙塔，进入伦敦的林肯律师公会，成为一名职业律师。

这并非因为他对数学失去了热情，而是源于维多利亚时代剑桥大学僵化的规定：要获得永久教职，必须接受神职。凯莱拒绝了这一选择，于是，数学界暂时“失去”了一位未来的领袖，而法律界则迎来了一位心不在焉的 conveyancer（产权转让律师）。

然而，正是这十四年的律师生涯，成就了数学史上最不可思议的一段传奇。凯莱的法律工作对他而言，仅仅是赚取面包的手段，以便让他的灵魂可以自由地在纯粹数学的王国里驰骋。他白天处理着繁琐的法律文件，用他自己的话说，法律的本质是“用最多的词语去说一件事”，而数学则是“用最少的词语”。这种极致的对比，或许反而磨砺了他对简洁与抽象的极致追求。

在这十四年间，伦敦的林肯律师公会法院的庭院里，常常出现两个身影在漫步。一个是凯莱，另一个是比他年长五岁、同样在法律界谋生的数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）。他们讨论的不是案件或合同，而是不变量与协变的深奥理论。在堆满法律卷宗的办公室里，他们共同构建了不变量理论的宏伟大厦。这幅画面极具戏剧性：两位未来的数学巨匠，在资本主义法律体系的心脏地带，孕育着最纯粹、最抽象的数学思想。

正是在这段“业余”时间里，凯莱的创造力迎来了惊人的爆发。他发表了大约 250 篇数学论文，其数量和质量足以让任何全职数学家感到汗颜。他像一个潜行的思想革命者，悄无声息地改变着数学的面貌。

二、矩阵的诞生：赋予数学新的语法

在凯莱之前，数学家们处理线性方程组和变换时，依赖的是一套繁琐、冗长的符号系统。它有效，但笨拙，限制了思想的深度。凯莱的洞察力如同一道闪电，劈开了这片混沌。他意识到，可以将整个线性方程组的系数打包成一个简洁、优雅的矩形阵列——他称之为“矩阵”（matrix ，这个词由他的朋友西尔维斯特首创，但赋予其生命的是凯莱）。

这绝非一次简单的符号简化。凯莱在 1858 年发表的《矩阵理论研究备忘录》（A Memoir on the Theory of Matrices）中，定义了矩阵的加法、乘法、逆矩阵等一系列运算法则。他赋予了矩阵生命，使其成为可以独立运算的数学实体。他石破天惊地提出，每一个方阵都是其自身特征多项式的一个根——这便是今天如雷贯耳的“凯莱-哈密顿定理”。

这篇论文的意义，怎么强调都不为过。它相当于为数学创造了一套全新的语法。从此，复杂的线性变换可以被视为单个“名词”（矩阵）之间的“动词”（运算）。这种抽象和概括的力量是无与伦比的，它将数学从具体的计算中解放出来，推向了一个结构化的、更高维度的视角。

海森堡后来发展量子力学时，发现描述电子状态跃迁的物理量，其乘法不满足交换律（即 A x B ≠ B x A），这在当时的物理学界看来是不可思议的。然而，他很快意识到，这正是凯莱矩阵乘法的内在属性。一个在半个多世纪前由纯粹数学家出于智力好奇而创造的抽象工具，竟然完美地契合了亚原子世界的奇异规则。没有凯莱的矩阵，量子力学或许将以一种截然不同的、远为笨拙的方式蹒跚起步。

三、抽象群：洞悉对称的本质

凯莱的革命性思维并未止步于矩阵。在 19 世纪中叶，群论的研究仍局限于具体的“置换群”，即对一组有限对象的重新排列。数学家们看到了其中的规律，但尚未触及其灵魂。

1854 年，凯莱再次展现了他超越时代的洞察力。他发表了两篇论文，首次给出了“抽象群”的定义。他不再关心群作用的对象是什么——是数字、是几何图形，还是别的什么——他只关心运算本身所遵循的法则（结合律、单位元、逆元）。他用一张简单的乘法表（后世称为“凯莱表”）来定义一个群，彻底将群的概念从其具体表现中剥离出来。

这是一个思想上的巨大飞跃。凯莱意识到，矩阵、四元数等看似不同的数学对象，在其内在结构上都满足群的定义。他穿透了表象，直达不同数学分支背后共通的对称性本质。这一思想为 20 世纪数学和物理学的几乎所有领域——从晶体学到粒子物理，从代数几何到密码学——都提供了统一的语言和强大的工具。

可以说，凯莱是第一个真正意义上的“结构主义”数学家。他关心的是数学对象之间的关系和它们所遵循的普适法则，而非对象本身。这种思想在今天已是数学家的第二天性，但在当时，却是石破天惊的远见。

四、重返剑桥：一代宗师的宁静晚年



1863 年，剑桥大学设立了萨德莱里安纯粹数学教授这一新教席，凯莱成为首位获此殊荣的教授。为此，他毅然放弃了收入丰厚的律师工作，接受了一份薪水微薄得多的教职。他终于可以全身心地投入他毕生挚爱的数学事业。朋友们都为他感到高兴，西尔维斯特甚至曾羡慕地表示，凯莱拥有他所渴望的宁静家庭生活，而自己却要一生与世界搏斗。

然而，成为教授的凯莱，其讲座却常常令学生们感到困惑。他讲授的往往是他自己最新的研究成果，内容艰深，与学生们为在毕业考试中取得高分而需要掌握的教学大纲相去甚远。他关心的是推动数学科学本身的前沿，而大多数学生则更关心如何通过考试。

尽管如此，凯莱的声望和影响力却与日俱增。他一生共发表了超过 900 篇论文和笔记，其广度和深度令人叹为观止，涵盖了代数、几何、分析等几乎所有数学领域。他与乔治·萨尔蒙（George Salmon）共同发现了三次曲面上的 27 条直线，这是代数几何的经典成果。他发展了n维几何，其思想被直接应用于爱因斯坦研究时空连续体的物理学中。他甚至断言，欧几里得几何与非欧几里得几何都只是射影几何的特例，展现了惊人的统一思想。

他的外表与他强大的智力形成了鲜明对比。据描述，他身材瘦削，略微驼背，脸上留有天花的痕迹。但见过他的人，无不被他那双灰色眼睛中闪烁的活跃光芒和他那独特的、孩童般的微笑所吸引。他性格温和，一生中唯一一次被朋友见到发怒，是因为一份法律文件打断了他与西尔维斯特的数学讨论——他厌恶地将文件摔在了地上。

这位智力上的巨人，在个人生活中却充满了温情。他积极投身于女性的大学教育运动，在剑桥大学格顿学院成立早期亲自授课，并长期担任纽纳姆学院的理事会主席，为女性争取平等的受教育权。

五、不朽的遗产

1895 年，阿瑟·凯莱在剑桥的家中去世，享年 73 岁。他的葬礼上，聚集了来自世界各地的顶尖学者，向这位沉默而伟大的思想先驱致以最后的敬意。

今天，超过五十个数学概念和定理以他的名字命名：凯莱定理、凯莱图、凯莱代数、凯莱-哈密顿定理……月球上的一座环形山也以“凯莱”为名。然而，他最深刻的遗产，并非这些具体的名词，而是他彻底改变数学思维方式的哲学。

他教会了世界，数学的力量在于其抽象的结构。他用矩阵和群论为后来的科学革命提供了必不可少的语言和工具。他的一生证明了一个真理：最纯粹、最不计功利的思想探索，往往能孕育出改变世界的最强大的力量。

阿瑟·凯莱，这位在律师事务所里重塑了数学的沉默巨匠，他的思想至今仍在现代科学的每一个角落回响。他是一位真正的王者，虽然他从未戴上王冠，但他创造的王国，却比任何尘世的帝国都更加广阔和不朽。

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