抬头看看天，哪里有界限？—— 彭实戈的数学人生

luyuanhong

抬头看看天，哪里有界限？—— 彭实戈的数学人生

原创  茶思编辑部  黄大年茶思屋科技网站  2025 年 09 月 23 日 17:30  中国香港

金融市场如同一个精密运转的庞大机器，每时每刻都在处理着数以万亿计的交易。在这个充满不确定性的世界里，有一类特殊的数学模型，能够从未来金融变量的可能分布出发，逆向推演当下的最优策略。这就是“倒向随机微分方程”理论，它的创立者正是本次专访的主人公，彭实戈。

故事要从 1971 年说起。年轻的彭实戈被山东大学物理系录取，在校期间，出于对数学的热爱，他凭借自学完成了《双曲复数函数》论文，但回应寥寥。毕业后，他被分配到山东禹城下乡插队，做起了架设电线杆的工作。“科学的春天”到来后，命运的转折悄然而至。1983 年，他获得赴法留学的机会，在巴黎第九大学和艾克斯-马赛大学深造，最终捧回两个博士学位。

在异国的研究岁月里，彭实戈酝酿出了改变学界认知的理论。1992 年，“倒向随机微分方程”理论在他手中诞生；同年，著名的“非线性 Feynman-Kac 公式”问世。这些理论从不确定的未来金融变量出发，倒推出当前的最优决策，为金融衍生品定价、风险管理等领域提供了理论基础。它们就像一把把钥匙，为后来者打开了通往新领域的大门。

2005 年，彭实戈凭借开创性成就当选中国科学院院士，他被誉为中国金融数学的奠基人，而他的理论仍在全球金融市场中发挥着深远影响。

从物理到数学，从理论到应用，彭实戈的学术之路始终带着交叉融合的鲜明特色。他的研究既扎根于随机控制理论这样的基础领域，又在金融数学等应用方向结出硕果。这种跨越边界的探索，展现了科学研究的无限可能。

2025 年 1 月，吉林长春，在一场随机矩阵领域的重要会议期间，彭实戈于会议间隙接受黄大年茶思屋科技网站总编张群英专访，分享他的数学人生。

以下是彭实戈院士的讲述。

复数之外，另开天地

我最开始喜欢数学，虽然被分配到物理系，学的是半导体专业，可心里还是放不下数学，就决定自己学。那时候也不知道难度有多大，直接买了斯米尔诺夫的《高等数学教程》全套，从最基础的高等数学开始学。老师讲课的内容我都会了，干脆不去上课。学校拿我也没办法，毕竟那时候提倡“自学成才”。听说教务处还专门开会讨论过，像我这种情况算不算旷课。学完了数学部分，我又接着自学了物理四大力学：量子力学、热力学、经典力学和统计力学。

某个疲惫的午后，热力学课本被搁在一旁，一个改变我一生的灵感乍现。当时我对复数的引入方式感到好奇——为什么能凭空定义一个虚数 i ，规定 i^2=-1 ，就构建出复数体系？这个念头在我脑子里转了很久，突然冒出一个大胆的想法：如果我也定义一个“新的虚数 j ”，满足 j^2=1 但 j≠1 ，会怎么样？经过反复推演，我构建了一套完整的“双曲复数”理论，包括相应的积分运算体系。这就像古人发现复数一样，我发现了“双曲复数”。

那时候我 22 岁，构建了完整的运算体系，甚至推导出了对应的积分公式。数学研究就是这样，没找到门路时一筹莫展，找着门进去完全是新天地。我兴冲冲地去找老师讨论，却被认为是异想天开。直到后来，我遇到了孙经先老师。他看了我的研究后说：“这足够写一本专著了。”这句话给了我莫大的鼓励。我独自完成了论文，虽然暂时没人理解，但我用双曲复数建立了一套新理论，这个领域之前从来没有人涉足。遗憾的是，我的研究在当时没有引起重视，我也要被分配到山东禹城，去架设电线杆子。那时候的人觉得广播也算物理嘛！架电线杆，让每个村子都能听到广播，听到毛主席的声音。

科学的春天

不过后来情况慢慢好转了，特别是“科学的春天”到来后。有几个朋友特别支持我，帮我把论文用油印机一份份印出来，到处寄给大学和研究机构。我父亲也设法把我的论文送到了山东大学数学研究所所长手里。这位教授看后约我见面，问我愿不愿意去当助手——我当然愿意！终于不用一个人钻研了。就这样，我来到了山东最顶尖的学府，开始了新的学术生涯。


1978 年全国科学大会

到了山大才发现，我之前自己做的数学研究原来那么自由，跟着思路走，想到哪儿算哪儿，不像传统数学那样严谨。现在要写成严谨的证明，每一步都要反复推敲，错一点都不行。虽然我自学的知识都是正确的，但要写成别人能看懂的推导，我又花了近俩年的时间补课。有半年多，我写的证明总比别人长，就是要确保每个环节都严丝合缝，把每个细节都补全。尽管如此，我仍然认为最重要的是最初的灵光一现。有了灵感就去做，这才是研究的精髓。

时间来到 1985 年，那时候全校只有两个出国名额。有一天，数学系副主任杨培勤老师突然问我：“英语考试准备得怎么样了？”我完全摸不着头脑，原来系里推荐我去参加三天后的英语选拔考试。我平时学英语就为了看文献和交流，从来没按考试套路准备过。我买来全套托福教材和磁带准备闭关突击，结果第一次做模拟题只得了十来分、二十分。情急之下，我准备闭关突击，整整两天不睡觉，最后半天实在撑不住了，干脆去爬山放松。

考试结果出乎意料：总分第二，听力第一。由于另一位入选者不愿学习法语，我主动请缨去了法国。为了这个机会，我又开始从头学法语。

在巴黎九大，Alain Bensoussan 教授同意指导我。暑假结束后，这位以严谨、勤奋著称的老师，直接把他手写的奇异摄动研究手稿交给了我。那场景我至今记得——他就像写小说一样，不打草稿一气呵成。可问题是，他那手写体我完全看不懂。我只能逐个字母辨认。当我提出对某个证明的改进时，他反问我：“你确定？”我立即写下推导过程。看完后他非常满意，从此更加支持我的研究。


Alain Bensoussan，法国数学家、欧洲科学院院士、法国巴黎第九大学荣休教授

在马赛做博士论文答辩时，我把自己认为创新性最强的那一部分放在了最后一章，本以为评审会不满意，但我还是放了。没想到评审特别表扬了第四章，说让人耳目一新。那一刻我恍然大悟：原来坚持自己的研究风格才是对的，我早该这么做了！

科学需要怎样的土壤：自由、碰撞与坚持

回到中国后，恰逢李政道先生提议引进西方博士后制度，我顺利进入复旦大学，成为新中国首批博士后。


李政道（1926- 2024），美籍华裔物理学家、中国科学院外籍院士、1957 年诺贝尔物理学奖获得者

我的研究方法是先把大框架搭好，再去完善细节。这就像爬山，平时稳稳当当地走，遇到难走的地方不要怕掉下去，提前想好路线，然后一口气爬上去。小时候我背着老师和父母去爬英雄山，以为十分钟就能往返，结果发现山顶远比想象的远，最后迷路回家还挨了顿打。就像面对一片望不到头的树林，总想知道后面藏着什么秘密，我对数学也有类似的感觉。



做研究时，常常觉得某个问题完全无解，但找到方法后才发现，原来只需要再往前十步，左转就能看到出路。数学的奇妙之处就在于此，看似不可逾越的难题，换个角度就迎刃而解。这种体验，和我小时候爬山的感受如出一辙。



当时在复旦，大家都在攻关“一般随机控制系统的最大值原理”这个难题，我反而没太关注。我和同事买了这么厚的稿纸，全部都用完了。我们反复讨论到无话可说，就各自埋头推导。突然有一天，灵感来了。其实国外顶尖学者也卡在这个问题上。大家都沿着老路走，自然找不到突破口。其实应该试试不起眼的小路，哪怕看起来是绝路，也许就藏着真正的突破口。关键是要敢走别人不走的路。

有句老话叫“无心插柳柳成荫”。做研究也是这样，有时候越想突破越找不到方向。当然，数学比英语严谨得多，一个错误就可能前功尽弃。但走错路真的可怕吗？走错路也不可怕，有时候看似错误的方向，反而能带来新的发现，反正天无绝人之路。其实我常想，要不要转回去研究物理？但数学总有新问题冒出来，一个接一个，让人停不下脚步。



最初建立“倒向随机微分方程”理论时，我甚至不确定它具体能解决什么问题。直到有一天，我在思考偏微分方程的期望表示时突然意识到：为什么线性情形可以用期望表示，而非线性情形就不行？我后来发现传统的“费曼-卡茨公式”其实只是揭示了这个问题的冰山一角。通过倒向随机微分方程这个新工具，我们最终建立了"非线性费曼-卡茨公式"，一下子就把这个理论的适用范围扩大了很多。费曼作为物理学家提出的路径积分方法，经数学家卡茨引入布朗运动路径后，发展成著名的“费曼-卡茨公式“。而我们的工作则突破了这个框架的线性限制。有意思的是，这个理论突破反而让我重新思考起物理问题。有时候数学和物理就是这样互相启发、互相促进的。

当时学界普遍认为，随机过程只能顺着时间方向，向前研究。就像布朗运动，大家都习惯从过去往未来推算。比如日本数学家伊藤清在 1942 年提出的伊藤积分，就是基于这种“前向”思维，确实解决了很多问题。但我就想，为什么不能反过来呢？就像解谜题，有时候从结果倒推反而更容易。我给系统设定一个未来的终止条件，然后倒着推演回去。刚开始大家都觉得这个条件太复杂，不可能实现。但我们找到了方法，一层层把这个复杂条件分解消化。最后不仅做出来了，还发展出了“非线性费曼-卡茨公式”这个重要工具。


伊藤清（1915 -2008），日本数学家、随机分析创立者

一项数学发明改变了金融领域

后来在巴黎六大，我遇到了金融数学专家 Nicole El Karoui 教授，她特别指出，我的倒向随机微分方程理论与期权定价理论存在深刻联系。


Nicole El Karoui ，金融数学家，巴黎第六大学和巴黎综合理工学院教授

说实话，当时我有点抵触。我们那代人总觉得谈钱太俗。但 Nicole El Karoui 教授很坚持，她的判断很准确。1973 年的 Black-Scholes 期权定价公式确实颠覆了整个金融领域，而我们的研究在 1992-93 年发现，其数学结构与 Black-Scholes 高度吻合，两者都涉及终端条件的倒向求解，都需要处理随机波动性问题，都依赖于类似的概率表示方法，像“严丝合缝的齿轮”。

在国家自然科学基金委员会的“十年成果报告会”上，我用 15 分钟报告了这一研究成果，这成为中国金融数学发展的一个契机。很多人没意识到，当时中国在数学理论的一些领域已经走在国际前沿。重大理论突破从来不是灵光一现，而是长期积累后水到渠成的结果。关键还是在于要走自己的路。

如今，“倒向随机微分方程”理论已成为金融风险度量的重要工具，从金融衍生品到突发事件预警都有应用。这类问题的计算都需要“倒着算”的方法，这正是倒向随机微分方程的优势所在。不同领域的问题，只需要调整方程中各项的具体含义即可。这个领域现在很活跃，很多团队都在做相关研究。不过有意思的是，真正做应用的人往往对具体算法保密——你看到他们发表论文，但不会透露核心的计算细节。

我个人从不参与金融投资，毕竟我是做理论研究的。这让我想起 James Simons ，那位著名的数学家和投资家。他什么学术问题都愿意谈，但绝不会透露自己的投资策略。其实数学理论和金融实践是两回事。我经常提醒学生要认清自己的专长。就像长期资本管理公司（LTCM），聚集了那么多顶尖学者，连诺贝尔奖得主都在里面，结果遇到俄罗斯债务危机还是垮了。这说明再完美的模型也抵不过市场风险。

科学无国界

科学本无国界——技术或许有，但科学不该有。人类文明能发展到今天，正是靠着一代代科学家跨越国界的智慧共享。科学需要开放的碰撞。在马赛的公园里，Mistral 诗人的雕像刻着：La terro es-toutoa touto la gent , E sie senso de frontiero nide barrent（土地属于全人类，它本无边界亦无屏障）。科学就像这片天空，本不该设限，所谓的边界，都是人自己划出来的。抬头看看天，哪里有界限？



就像爱因斯坦的“奥林匹亚”。那个小沙龙就几个人，大家畅所欲言，谁都可以质疑现有理论。正是在这种毫无戒备的讨论中，相对论诞生了。说实话，如果当时没有成功，旁人大概会笑话他们异想天开，但正是这种自由讨论才能催生伟大发现。



注：“随机矩阵领域的重要会议”指“中国现场统计研究会随机矩阵理论与应用分会成立大会暨学术交流会”，于 2025 年 1 月 10 日至 12 日在吉林省长春市召开。

黄大年茶思屋科技网站