数学火种不灭：哥廷根学派的守成者传奇

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数学火种不灭：哥廷根学派的守成者传奇

原创  南方Er  南方Er  2025 年 09 月 25 日 10:18  广东



在数学的浩瀚江湖中，曾有一座被誉为“圣地麦加”的城池——哥廷根。这里并非皇城帝都，也非经济重镇，只是一座德国小城，却在19世纪末至20世纪初的数十年间，执世界数学之牛耳，吸引着全球的数学才俊如同朝圣般汇聚于此。其间的传奇故事，跌宕起伏，既有绝顶高手的薪火相传，亦有门派兴衰的世事沧桑，更离不开时代洪流下的因缘际会。



本篇传奇，便将焦点投向那段承前启后的关键岁月——在数学王子高斯的光环渐隐、黎曼天才流星般划过夜空之后，直至武林盟主克莱因与无冕之王希尔伯特携手开创黄金时代之前，那些支撑起哥廷根数学殿堂、却往往被后世传说略过的名字与事迹。

一、圣地源流与风云突变



哥廷根的数学传统，始于一位不世出的天才——卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777–1855）。他于 1807 年成为哥廷根大学教授，奠定了哥廷根数学的深厚根基。高斯虽非哥廷根学派的创始人（该学派作为学术流派形成于 19 世纪后期），但其思想为后世学派提供了源头活水。



高斯之后，其衣钵由约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（1805–1859）与伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann, 1826–1866）继承。狄利克雷以严谨的分析风格闻名，是德国分析学派的奠基人之一；而黎曼则如一颗划破夜空的流星，其思想之深邃超前，为后世留下多部蕴含无上心法的秘籍——从复变函数论到黎曼几何，再到微分几何的革命性突破。



然而，江湖格局，变幻莫测。1866 年，黎曼的英年早逝，如同哥廷根数学的顶梁柱骤然崩塌。一时间，这座数学圣地陷入“首席教授虚悬”的窘境，难觅合适的接任者。与此同时，位于普鲁士首都柏林的大学，正以其强大的学术实力迅速崛起，成为哥廷根的强劲对手。



柏林学派的兴起，离不开洪堡教育改革的推动。普鲁士在拿破仑战争后推行全面革新，教育部长威廉·冯·洪堡创立了“教学与研究相统一”的大学模式，柏林大学正是这一模式的典范。柏林学派在魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）、克罗内克（Leopold Kronecker）、库默尔（Ernst Kummer）的引领下，在函数论、数论等领域风生水起，声势浩大。值得注意的是，库默尔虽曾在哥廷根大学获得博士学位（1831年），但其主要学术活动和长达 30 年的教授生涯均在柏林大学完成，是柏林学派的三巨头之一，在代数数论和超几何函数等领域做出了奠基性贡献。

更关键的是，1866 年普奥战争后，汉诺威王国被普鲁士吞并，哥廷根从此归属普鲁士。柏林作为德意志帝国首都，地位如日中天，而哥廷根则从学术重镇变为帝国下的大学城。此消彼长之下，柏林对数学人才的吸引力大增。当哥廷根向柏林的克罗内克抛出橄榄枝时，后者婉言谢绝，宁愿留在学术环境更优、资源更丰的柏林。哥廷根数学，陷入了前所未有的阵痛期。

二、薪火相传：黎曼之后的守成者们

正是在这内忧外患之际，一批数学家先后执掌哥廷根数学第一教授席位，他们或许不如高斯、黎曼般光芒万丈，却如同坚韧的接力者，在低谷中维系着哥廷根的火种。

传奇接力第一棒：克莱布什——代数几何的开路先锋



鲁道夫·克莱布什（Rudolf Clebsch, 1833–1872）于 1868 年接替黎曼。他师承雅可比的精神谱系，将研究重心投向代数几何——研究多项式方程定义的几何图形（代数曲线、曲面）。克莱布什深刻发展了黎曼关于代数曲线分类的思想，引入“亏格”等核心概念，明确指出代数几何的精髓在于研究图形在“双有理变换”下的不变性质。他不仅是哥廷根代数几何学派的奠基人，还与纽曼（Ferdinand Georg Frobenius）共同创办了《数学年刊》（Mathematische Annalen），为数学界搭建了重要交流平台。可惜天不假年，1872 年，克莱布什因白喉去世，在位仅四年。

传奇接力第二棒：富克斯——微分方程的“险境”教学法



拉扎鲁斯·富克斯（Lazarus Fuchs, 1833–1902）在 1874 年短暂接棒。他以其姓氏命名的富克斯方程、富克斯群、富克斯函数而闻名，是微分方程领域的重要学者。他的授课方式独具一格：课前不预作详细推导，喜欢在课堂上当场构思、演算，将自己置于思维的“危险境地”。这种教学法让弟子们得以窥见顶尖高手思考问题的真实过程。后来在哥廷根大放异彩的希尔伯特，早年曾在海德堡聆听过富克斯的课，这种注重展现思维过程而非完美结果的风格，对希尔伯特产生了深远影响。然而，富克斯在哥廷根停留不足一年，便转投海德堡大学。

传奇接力第三棒：施瓦茨——经营有方的函数论大家



赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz, 1843–1921）于 1875 年上任，他的到来结束了哥廷根首席教授频繁更迭的局面，稳定执教长达十七年。施瓦茨是魏尔斯特拉斯的高足，在函数论、微分方程和几何学上均有建树。在施瓦茨的推动下，哥廷根的数学教学与研究秩序得以恢复和巩固。常有人认为哥廷根数学的机构建设始于施瓦茨，但真正的推动者是菲利克斯·克莱因。正是克莱因系统规划了课程、建立了流动图书馆并悉心管理数学模型室，如今哥廷根数学研究所走廊陈列的数百件模型，其收藏与体系化建设传统实应追溯至克莱因时期。





海因里希·韦伯（Heinrich Weber, 1842–1913）于 1892 年接替施瓦茨。他是一位博学之士，在数论和数学物理领域均有贡献。他撰写的《代数学教程》（Lehrbuch der Algebra）是当时的经典教材，影响深远。更重要的是，他是最早给出抽象群定义的数学家之一（1893 年），推动了代数学的现代化进程。在哥尼斯堡大学任教时，年轻的希尔伯特曾是他的学生，深受其影响。1895 年，韦伯离职前往斯特拉斯堡，他的继任者，正是他昔日的学生、未来将哥廷根带上巅峰的戴维·希尔伯特。

除了这些执掌首席的“掌门级”人物，哥廷根还有一批重要的长老和教习，共同构成了学派的基石。如第二数学教授斯特恩（Moritz Stern, 1807–1894），他是德意志第一位犹太裔教授，最早发现了黎曼的才华；模型室的积极建设者乌尔里希（Friedrich Wilhelm Ulrich）；以及拓扑学先驱莫比乌斯（August Ferdinand Mobius, 1790–1868）——他于 1858 年独立发现了著名的莫比乌斯带。正是这些人的共同努力，在克莱因到来之前，守住了哥廷根数学的基业，并在函数论、代数几何、微分方程等方向上保持了相当的活力。

三、双雄聚首与黄金时代

历史的转折点发生在 1886 年。菲利克斯·克莱因（Felix Klein, 1849–1925）接受哥廷根第二数学教授席位（接替斯特恩）。克莱因如同一位雄心勃勃的掌门，深谙哥廷根的潜力与不足，决心重振其昔日荣光。



克莱因的到来，是哥廷根复兴的关键。他善于利用人脉（与普鲁士教育官员阿尔多夫（Adolf von Harnack）交好），积极为哥廷根争取资源。他的第一步妙棋，便是 1895 年成功将声名鹊起的希尔伯特从哥尼斯堡请至哥廷根，接替韦伯的位置。希尔伯特如同天赋异禀、剑气纵横的绝世高手，其研究涵盖基础数学的广阔领域，以其深刻的洞察力和解决问题的强大能力，迅速成为世界数学界的中心人物。



克莱因与希尔伯特的组合，堪称完美：克莱因是卓越的战略家和组织者，负责搭建平台、汇聚资源；希尔伯特则是无可争议的学术领袖，以其个人魅力和辉煌成就吸引全球顶尖数学青年。1902年，当柏林大学试图以优厚待遇“挖走”希尔伯特时，希尔伯特非但拒绝，反而借此机会要求政府在哥廷根增设第三个数学教授席位，并成功邀请好友闵可夫斯基（Hermann Minkowski）前来。至此，哥廷根在顶尖人才的数量和质量上全面超越了柏林。



由此，哥廷根数学的黄金时代正式开启。讨论班制度活跃，学术氛围自由，来自世界各地的学者（包括后来的女数学家埃米·诺特）在此交流碰撞，产生了无数影响深远的思想。函数论、数论、代数、积分方程、理论物理……哥廷根几乎在所有前沿方向都引领着潮流。希尔伯特于1900年巴黎国际数学家大会上提出的23个数学问题，更是为20世纪的数学发展绘制了宏伟蓝图。

四、传奇的启示与余音

哥廷根学派的江湖传奇，给予后人诸多启示：

大师效应至关重要：从高斯到希尔伯特，顶尖学者的个人威望是吸引人才、形成学派的磁石。

组织引领不可或缺：克莱因的行政天才和长远规划，为学派的繁荣提供了坚实的制度保障。

政策环境举足轻重：德国洪堡式大学体制、宽松的人才流动政策，以及阿尔多夫等开明官员的支持，是学派兴盛的土壤。

承前启后继往开来：在辉煌顶峰之前，是克莱布什、富克斯、施瓦茨、韦伯等一代代数学家的坚守与耕耘。他们或许不是最耀眼的明星，但正是他们的努力，使哥廷根的火种未曾熄灭，为后来的爆发积蓄了力量。

然而，这场传奇最终以悲剧收场。1933 年纳粹上台后，对犹太裔学者的迫害使得哥廷根学派顷刻瓦解，希尔伯特晚年只能孤独地目睹自己一手缔造的繁荣化为乌有。哥廷根作为世界数学中心的时代，一去不复返。

回望那段岁月，我们不仅应铭记克莱因与希尔伯特的丰功伟绩，也不应忘记在黎曼之后、克莱因之前，那些在阵痛期支撑起哥廷根数学殿堂的守成者们。他们的故事，是哥廷根这部宏大江湖传奇中不可或缺的篇章，讲述了学术传承的坚韧，以及一个学派在逆境中如何依靠一代代人的努力，等待复兴的曙光。



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