《杨振宁访谈录》：狄拉克 delete 函数、费曼路径积分、数学化

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《杨振宁访谈录》：狄拉克 delete 函数、费曼路径积分、数学化

原创  超级侧卫 6704  超级侧卫 6704  2025 年10 月 04 日 12:05  广西

季理真：……刚才我们说如何变得比较有原创性。

杨振宁：我想费曼有原创性，这是没问题的。而且他的最大贡献不是这个，他最大的贡献是路径积分。

季理真：不是费曼图？

杨振宁：路径积分，我想是抓住了量子力学的精神。可是这个东西到现在为止，搞数学的人还没搞清楚。

季理真：现在在数学上我们很麻烦，因为你在一个无限大的空间上算积分，如何减少到一个有限维，这怎么搞，这是个很大的问题。

杨振宁：你知道第二次世界大战以前，30 年代，狄拉克的书里有了 delta 函数。

季理真：对。

杨振宁：这个 delta 函数当时数学界是不能接受的。……可是洛朗·施瓦茨把它变成了分布理论（distribution theory）。他因这个成就得了菲尔茨奖。可是把 delta 函数变成分布，这个困难的程度不能跟路径积分相比。路径积分里头就是一个 i 的问题。action（作用）的点上有个 i ，就变成了 phase（相位），如果没有那个 i ，概率论专门要研究的。可是，有 i 跟没有 i ，这是一个不能逾越的困难。我想这里头有非常深刻的东西。

季理真：对，没有 i 的话收敛就比较简单了。

杨振宁：没有 i 的话这个数学就很简单了。

引者注：以上引自《百年科学往事——杨振宁访谈录》，季理真、王丽萍编著，华东师范大学出版社出版。

丘成桐在《大宇之形》中有一节是“弦论，数学的宝藏”（本公众号有文专述此事），其中对在量子场论与超弦理论发展出的数学深为赞赏，甚至“佩服得五体投地”。其实量子力学发展之初，狄拉克在建立变换理论时已对数学产了冲击。

首先是狄拉克发明了“狄拉克符号”，用以表示抽象的物理量；其次，就是我们上面提到的 delta 函数。对狄拉克这样的物理学家来说，某些数学的东西只要物理上好用，就先用再说。在这点上费曼说得对，凡是需要的数学我都可以发明出来。可是这样的数学在数学家眼里就十分古怪，虽然能用，但在严格的审察下无凭无据，是“不合法”的。

正象冯·诺依曼说的：“……狄拉克方法因其清晰与优雅而贯穿于当今的大部分量子力学文献中，但它绝不能满足数学上严格性的要求……需要引入自相矛盾的‘非正常’函数，在狄拉克方法中，插入这样一种数学‘构想’常常是必不可少的。”因而作为大数学家的他亲自操刀，将量子力学严格化，使之建立在严格的数学——希尔伯特空间理论之上。写了著名的《量子力学的数学原理》，是量子力学数学化、公理化的标准之作。可是在这里，冯·诺依曼为了量子力学的目的，面临把已知的有界埃米尔算子谱理论拓展到无界情形的问题，到 1929 年，他给出了这个问题的一个完整的解决方案。

这好象是说，量子力学要用希尔伯特空间来描述，同时也要求或迫使希尔伯特空间理论完善与发展。因此，历史上维格纳“数学在自然科学中的不合理效用，”似乎找到了某种平衡，即物理学也推动着数学的发展。冯·诺依曼的算子谱理论推广是一个例子。

而狄拉克 delta 函数是另一个例子。这个看似“非正常”的函数，在物理中却能得到正确的结果，这说明它是有道理的。实际上，法国数学家施瓦茨于 1950-1951 年出版的《分布理论》，就把 delta 函数作为函数概念的一种推广，从而使之“正常化”了，变成合理的数学的一部分。而这个推广，delta 函数就是动力之一，且是那类堆广函数的笫一个例子。

此外，狄拉克提出的磁单极子，后来发现是数学上的非平凡丛，而前者早于后者几十年且由物理的动机出现的。

这似乎告诉我们，凡是物理上有效的，在数学上也是对，只不过通常需要一些时日方能认识到。

至于费曼的路径积分，作为非阿贝尔规范场与超弦理论的基本方法，至今还没有在数学上找到其地位，还是“非正常化”状态。我相信杨振宁说的“我想这里头有非常深刻的东西。”

超级侧卫 6704

wilsony

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