孪生素数的筛法分配律

小草

孪生素数的筛法分配律

文/施承忠

孪生素数与非孪生素数是一对互补函数，幂函数对互补函数是有着底分配功能的.
若一对互补函数f1(x),f2(x),则f1(x)=t,f2(x)=x-t.
当x=幂函数u^n时，则f1(x)=u1(u^n),f2(x)=u2(u^n).此时幂函数的底分配功能会分配给u1(u^n)=a^n,u2(u^n)=b^n两个不同的底，并在不断的升幂中不断的变化.

孪生素数与非孪生素数是一对互补函数，令孪生素数对数为T(x)非孪生素数为G(x),这时T(x)=t,G(x)=x-t.
再令x=u^n,T(x)=a^n,G(x)=b^n.
再令u=2
当x=2^3时T(2^3)=2,G(2^3)=6.它们的底分配是a≈1.25992,b≈1.81712
T(2^3)≈1.25992^3=2,G(2^3)≈1.81712^3.
当x从2^3升幂到2^4时T(2^4)的主项1.25992^4≈2.51983，G(2^4)的主项1.81712^4≈10.90271.
2.51983+10.90271≈13,但2^4=16.
此时升幂主项≈13，升幂余项≈3,T(2^4)的升幂余项为≈0.48017≈0.83243^4；G(2^4)的升幂余项为≈3-0.48017≈2.51983≈1.25991^4.
此时T(2^4)≈1.25992^4+0.83243^4≈1.31607^4=3；G(2^4)≈
1.81712^4+1.25991^4≈1.89883^4=13.
a≈1.31607,b=1.89883就是n=4时的底分配.

这样的方法可以一直继续下去.此时主项a^k可以一直升幂到a^(k+m)当
x足够大时它总是小于T(2^(k+m));此时主项b^k可以一直升幂到b^(k+m)它总是小于G(2^(k+m)).
令T(2^n)的余项为a0^k,G(2^n)的余项为b0^k.此时余项a0^k可以一直升幂到a0^(k+m)当x足够大时它总是小于T(2^(k+m))的余项;此时余项b0^k可以一直升幂到b0^(k+m)当x足够大时它总是小于G(2^(k+m))的余项.并且在余项中再得到主项与余项得到
T(2^k)=a^k+a0^k+a01^k+a02^k+a03^k+...+a0m^k.

用此方法我们得到：

T(2^3)=2≈1.25992^3+0≈1.25992^3
T(2^4)=3≈1.25992^4+0.83243^4≈1.31607^4
T(2^5)=5≈1.31607^5+1.01015^5≈1.37973^5
T(2^6)=7≈1.37973^6+0.68282^6≈1.38309^6
T(2^7)=10≈1.38309^7+0.84912^7≈1.38950^7
T(2^8)=17≈1.38950^8+1.15213^8≈1.42497^8
T(2^9)=24≈1.42497^9-0.84698^9≈1.42350^9
T(2^10)=36≈1.42350^10+1.06262^10≈1.43097^10
T(2^11)=62≈1.43097^11+1.23816^11≈1.45527^11
T(2^12)=107≈1.45527^12+1.26490^12≈1.47610^12
T(2^13)=177≈1.47610^13+1.25448^13≈1.48909^13
T(2^14)=290≈1.48909^14+1.26351^14≈1.49929^14
T(2^15)=505≈1.49929^15+1.32767^15≈1.51433^15
T(2^16)=860≈1.51433^16+1.32946^16≈1.52548^16
T(2^17)=1526≈1.52548^17+1.37117^17≈1.53910^17
T(2^18)=2679≈1.53910^18+1.38022^18≈1.55040^18
T(2^19)=4750≈1.55040^19+1.39984^19≈1.56138^19
T(2^20)=8535≈1.56138^20+1.42050^20≈1.57239^20
T(2^21)=15500≈1.57239^21+1.43880^21≈1.58321^21
T(2^22)=27995≈1.58321^22+1.44826^22≈1.59272^22
T(2^23)=50638≈1.59272^23+1.46025^23≈1.60156^23
T(2^24)=92246≈1.60156^24+1.47443^24≈1.61017^24
T(2^25)=168617≈1.61017^25+1.48636^25≈1.61836^25
T(2^26)=309561≈1.61836^26+1.49816^26≈1.62623^26
T(2^27)=571313≈1.62623^27+1.50995^27≈1.63387^27
T(2^28)=1056281≈1.63387^28+1.51971^28≈1.64110^28
T(2^29)=1961080≈1.64110^29+1.53014^29≈1.64810^29
T(2^30)=3650557≈1.64810^30+1.53951^30≈1.65480^30
T(2^31)=6810670≈1.65480^31+1.54839^31≈1.66121^31
T(2^32)=12739574≈1.66121^32+1.55711^32≈1.66739^32
T(2^33)=23878645≈1.66739^33+1.56520^33≈1.67331^33
T(2^34)=44849427≈1.67331^34+1.57308^34≈1.67900^34
T(2^35)=84384508≈1.67900^35+1.58057^35≈1.68448^35
T(2^36)=159082253≈1.68448^36+1.58779^36≈1.68975^36
T(2^37)=300424743≈1.68975^37+1.59479^37≈1.69484^37
T(2^38)=568237005≈1.69484^38+1.60141^38≈1.69974^38
T(2^39)=1076431099≈1.69974^39+1.60785^39≈1.70447^39
T(2^40)=2042054332≈1.70447^40+1.61405^40≈1.70904^40
T(2^41)=3879202049≈1.70904^41+1.61999^41≈1.71345^41
T(2^42)=7378928530≈1.71345^42+1.62579^42≈1.71772^42
T(2^43)=14053179903≈1.71772^43+1.63133^43≈1.72185^43
T(2^44)=26795709320≈1.72185^44+1.63668^44≈1.72584^44
T(2^45)=51149458583≈1.72584^45+1.64193^45≈1.72971^45
T(2^46)=97741674629≈1.72971^46+1.64696^46≈1.73346^46
T(2^47)=186965900951≈1.73346^47+1.66995^47≈1.73710^47
T(2^48)=357988002871≈1.73710^48+1.65650^48≈1.74063^48
T(2^49)=686087457349≈1.74063^49+1.66104^49≈1.74405^49
T(2^50)=1316068371494≈1.74405^50+1.66550^50≈1.74737^50
T(2^51)=2526674510802≈1.74737^51+1.66984^51≈1.75060^51
T(2^52)=4854867527890≈1.75060^52+1.67400^52≈1.75374^52
T(2^53)=9335730886226≈1.75374^53+1.67804^53≈1.75679^53
T(2^54)=17965892577331≈1.75679^54+1.68199^54≈1.75976^54
T(2^55)=34599215416537≈1.75976^55+1.68580^55≈1.76264^55
T(2^56)=66678992679955≈1.76264^56+1.68961^56≈1.76546^56
T(2^57)=128589588118191≈1.76546^57+1.69315^57≈1.76819^57
T(2^58)=248145307510177≈1.76819^58+1.69677^58≈1.77086^58
T(2^59)=479159158312507≈1.77086^59+1.70019^59≈1.77346^59
T(2^60)=925800651712810≈1.77346^60+1.70354^60≈1.77600^60
T(2^61)=1789823239135382≈1.77600^61+1.70676^61≈1.77847^61

小草

2^10=1024
T(2^10)=36,G(2^10)=1024-36=988
T(2^10)≈1.43097^10,G(2^10)≈1.99285^10
2^11=2048
1.43097^11≈51.51525,1.99285^11≈1,968.88668
52+1969=2021
T(2021)=61,G(2021)=2020-61=1959
2048-2021=27
T(2048)=62,G(2048)=2048-62=1986