无穷小的无穷积可能不是无穷小？反直觉吗？

luyuanhong

无穷小的无穷积可能不是无穷小？反直觉吗？

原创  YSsharing  YSsharing 2025 年 09 月 30 日 15:08  湖南

背景

在上高等数学课的时候，老师跟我们说的结论是无穷小的无穷积可能不是无穷小，于是举出了一个十分经典的例子：
  


Main text

但是我对这个举例产生了困惑，连乘式中有一项 n^(n-1) 在 n 趋于无穷大时是趋于无穷大的，并不是无穷小。连乘式中并不全是无穷小，有一项无穷大，这怎么能算是 “无限个‘无穷小’之积” 呢?

于是我上网搜索，在知乎上看到了大神详细而全面的解答（ https://zhuanlan.zhihu.com/p/88642140 ）：

事实上，在不同的定义下，“无限个无穷小之积是否一定为无穷小”的答案会不同。上述“常见例子”中所认可的“无限个无穷小之积”的定义如下:



日本数学家小平邦彦在《堕者集》中写道：“要从感觉上把握定理所表达的数学事实”，但是这个定义仍不能让我的感觉安稳，无穷大的那个因子仍让我魂牵梦绕。

知乎大神给出了一个更有约束性的定义。






至此，不安的心终于放下了，因为在这个坐标系中无论以任何路径取极限都为 0 ，并且这样得出的结论是无穷多无穷小的乘积一定为无穷小，这个定义与结论符合我的数学直觉。（(但是结论还是以老师为准啊,你们老师说不一定就不一定） 此外吾有一友指出我的具体困惑，若有机会，笔者将写下第二篇分析。

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