推理不用反论题，就不是反证法

yangls728

推理不用反论题，就不是反证法
杨六省
yangls728@163.com
《百度百科》中的“反证法”词条说：“在应用反证法证题时，一定要用到‘反设’，否则就不是反证法。”
下面是人教版（2024）数学七年级下册第58页关于“√2不是有理数”的证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
     p/q=√2，
于是
p=√2q.
两边平方得                             
p2=2q2.
由2q2是偶数，得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2r(r是正整数)，代入上式，得4r2=2q2，即
                                    q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
笔者评析：关于间接证明，帕特里克·赫尔利（Patrick Hurley）在《简明逻辑学导论（第10版）》（世界图书出版公司北京公司.2010）第310页写道：“使用这个假设（笔者注：指反论题）得到一个矛盾，然后得出结论说最初的假设是错误的。”
在教科书的证明中，推出的矛盾是“p和q都是偶数，与假设p，q互质矛盾”，这说明不成立的假设是指“p，q互质”（而不是指“p，q 都是整数”），从而说明教科书是把√2=p/q（p，q互质）当作“√2不是有理数”的反论题展开论证的。
反论题必须参与得到矛盾的推理。但是，教科书在推出“p和q都是偶数”（因而与假设p，q互质相矛盾）的过程中，并没有用到反论题中的“p，q互质”这一条件，否则，会得到完全不同的结论：前面推出了p是偶数（姑且不论这种推理是否有效），后面就不可能再推出q也是偶数。
应用反证法，矛盾的推出没有用到反论题，这是论证形式的错误（不管反论题的设定是否正确），是证明中的一个硬伤，它表明教科书的证明是无效的。