复数 z^13=1 ，求 (z^1+z^5+z^8+z^12)^3+(z^2+z^3+z^10+z^11)^3+(z^4+z^6+z^7+z^9)^3

波斯猫猫

题：已知复数 z^13=1，且z≠1，求(z+z^5+z^8+z^12)^3
+(z^2+z^3+z^10+z^11)^3+(z^4+z^6+z^7+z^9)^3.

思路：由z^13-1=0，z≠1，有z+z^2+z^3+...+z^12=-1.

令a=z+z^5+z^8+z^12，b=z^2+z^3+z^10+z^11，

c=z^4+z^6+z^7+z^9，则a+b+c=-1.

∴ a^2=(z+z^5+z^8+z^12)^2

=z^2+z^10+z^3+z^11+2z^6+2z^9+4+2z^4+2z^7

=b+2c+4.

b^2=(z^2+z^3+z^10+z^11)^2

=z^4+z^6+z^7+z^9+2z^5+2z^12+4+2z+2z^8

=c+2a+4.

同理 c^2=a+2b+4

∴ a^2=b+2c+4,b^2=c+2a+4,c^2=a+2b+4,a+b+c=-1.

a^2+b^2+c^2=9，ab+bc+ca=-4.

-9=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

=a^3+a(b^2+c^2)+b^3+b(a^2+c^2)+c^3+c(a^2+b^2)

∴ a^3+b^3+c^3=-9-a(b^2+c^2)-b(a^2+c^2)-c(a^2+b^2)

=-9-a(3a+2b+c+8)-b(3b+2c+a+8)-c(3c+2a+b+8)

=-9-3(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)-8(a+b+c)

=-9-27+12+8=-16.

注：1.本法很搞笑，也极具特色，首次出现，需要在解答
题目的过程中找到a,b,c的数量关系.从而解决问题.
2.较原题，增加了z≠1的条件.

ataorj

我可没自己展开，是用软件做的，人家合并好结果是28项，好像不复杂，当然过程简单但繁琐，我13取余，人家就输出成12项了。
--------
z<>1,从z进制角度看，更加简单
我初起就想这样，早先我将进制扩展到正小数完全成立（容易证明这点）
这里是复数，可能不能这样。但是上面解题在形式上看来和实数一样，所以这里也应该也可以用进制角度解题：
待续

ataorj

1000100100010^3+
0110000001100^3+
0001011010000^3=，，
道理一样，简洁而已。

ataorj

3仍是十进制的

ataorj

人工展开项数：
4^3*3=64*3=192

波斯猫猫

波斯猫猫
后面的解法，对原式来说展开只用了20项。  发表于 2025-10-12 23:07
波斯猫猫
用最笨的办法展开原式，项数是60，120，125，192？还要保证不出错。  发表于 2025-10-12 23:01

发表于 2025-10-12 23:38 | 只看该作者
人工展开项数：
4^3*3=64*3=192

居然猜中了。当时本想把192放前面的，想了哈，还是保守点好，就放在了最后。《125》？

ataorj

1000100100010^3+
0110000001100^3+
0001011010000^3=
仅仅示例1000100100010^3,先^2
1000100100010^2,竖式乘法,4行的列相加,列和>9时用字母代替:
1000100100010
00001000100100010
00000001000100100010
000000000001000100100010+0,=
1000200210040012002000100,14位以上拉到低位:
0012002000100+
0100020021004=
0112022021104,*1000100100010:
112022021104
0000112022021104
0000000112022021104
00000000000112022021104+0,=
112033234509432730611040,14位以上拉到低位:
9432730611040+
0011203323450=
9443933934490=9z^12+4z^11+4z^10+3z^9+9z^8,,,,+9z^1