已知 ΔABC 是正三角形，DB⊥BC ，∠ADC=2∠ADB ，求证 ∠BDC=45°

数学小白新

已知正△ABC，DB⊥BC，∠ADC=2∠ADB，求证∠BDC=45° 。

ataorj

以B为圆心，BA为半径做圆，再以BD为轴，做A的对称点E，显然ABE是正三角形，且角ADB=EDB，则D也在圆B上，BD=AB。余略。

王守恩

\(记AD,BC交点=P。利用恒等式。——瞪眼！a=15^\circ。\)

\(1≡\frac{\sin∠PBA*\sin∠PDB*\sin∠PCD*\sin∠PAC}{\sin∠PBD*\sin∠PDC*\sin∠PCA*\sin∠PAB}=\frac{\sin(60)*\sin(a)*\cos(3a)*\sin(30+a)}{\sin(90)*\sin(2a)*\sin(60)*\sin(30-a)}\)

正弦定理就可以。

\(BA=\sin(3a),BD=\cos(3a),\frac{\sin(3a)}{\sin(a)}=\frac{\cos(3a)}{\sin(30-a)}\)

或:   \(CA=\sin(3a),CD=1,\frac{\sin(3a)}{\sin(2a)}=\frac{1}{\sin(30+a)}\)

Future_maths

ataorj 发表于 2025-10-12 14:02
以B为圆心，BA为半径做圆，再以BD为轴，做A的对称点E，显然ABE是正三角形，且角ADB=EDB，则D也在圆B上，BD= ...

且角ADB=EDB，则D也在圆B上，BD=AB。这个是错误的推导吧

ataorj

简略而已，CAE都在圆上且角ADE=ADC则D必也在圆上（相等的圆周角）

ataorj

更正，我没画图，居然默认ADC为圆周角了。
现在应该证明，相等的两弦共顶点的两角也相等时，顶点也在圆上（还有完全例外的情形要排除）

ataorj

画了下图，上面想法也不对。感谢Future_maths早先就指出错误！

波斯猫猫

题：已知 ΔABC 是正三角形，DB⊥BC ，∠ADC=2∠ADB ，求证 ∠BDC=45°.
思路：主帖图，作AE⊥DB的延长线于E，记BD=a，BC=b，θ=∠ADC，
则AE=b/2，BE=√3b/2.
∴ tan3θ=b/a，tanθ=b/(2a+√3b). 易消去θ，化简得a=b，即∠BDC=45°.

luyuanhong

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