复数 z^13=1,z≠1,求(z+z^5+z^8+z^12)^3+(z^2+z^3+z^10+z^11)^3+(z^4+z^6+z^7+z^9)^3

波斯猫猫

思路：由z^13-1=0，z≠1，有z+z^2+z^3+...+z^12=-1.

令a=z+z^5+z^8+z^12，b=z^2+z^3+z^10+z^11，

c=z^4+z^6+z^7+z^9，则a+b+c=-1.

∴ a^2=(z+z^5+z^8+z^12)^2

=z^2+z^10+z^3+z^11+2z^6+2z^9+4+2z^4+2z^7

=b+2c+4.

b^2=(z^2+z^3+z^10+z^11)^2

=z^4+z^6+z^7+z^9+2z^5+2z^12+4+2z+2z^8

=c+2a+4.

同理 c^2=a+2b+4

∴ a^2=b+2c+4,b^2=c+2a+4,c^2=a+2b+4,a+b+c=-1.

a^2+b^2+c^2=9，ab+bc+ca=-4.

-9=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

=a^3+a(b^2+c^2)+b^3+b(a^2+c^2)+c^3+c(a^2+b^2)

∴ a^3+b^3+c^3=-9-a(b^2+c^2)-b(a^2+c^2)-c(a^2+b^2)

=-9-a(3a+2b+c+8)-b(3b+2c+a+8)-c(3c+2a+b+8)

=-9-3(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)-8(a+b+c)

=-9-27+12+8=-16.

注：本法很搞笑，也极具特色，首次出现，需要在解答题目
的过程中找到a，b，c的数量关系，从而解决问题.

wintex

謝謝波斯貓貓老師

luyuanhong

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