一张图，看懂微积分需要解决的三大核心问题

luyuanhong

一张图，看懂微积分需要解决的三大核心问题

原创  派哥读书  派哥乱读书  2025 年 10 月 11 日 19:28  山东

假期结束了，我们继续微积分的话题吧！

上一篇，我们从运动的角度阐述了微积分想要解决的问题，今天我们从几何的角度来说一说微积分需要解决的三大核心问题。

放一张图，可以很清楚的看到三大问题之间的关系：



微积分的三大核心问题：

1、正向问题：已知一条曲线 y(x) ，求它各处的斜率 dy/dx 。

2、反向问题：已知一条曲线各处的斜率 dy/dx ，求这条曲线 y(x) 。

3、面积问题：已知一条曲线 y(x) ，求曲线下方的面积 A(x) 。

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先解释一下，对于没接触过微积分的小白，这里看到一个陌生的符号 dy/dx 。

如果你还记得初中数学有关直线的斜率计算是 Δy/Δx ，其中，Δ 符号表示变化量，Δy 表示因变量的变化量，Δx 表示自变量的变化量，那么就不用紧张，这两者有点关系。

在研究曲线的斜率里，如果 Δy、Δx 这个变换量非常小，小到趋近于 0 时，似乎就产生了某种质变，使用的名字也随之发生了变化，从希腊字母 Δ 转换成了拉丁字母 d ，Δy/Δx 就变成了 dy/dx ，表示曲线上点的极限斜率。

缩写 d 的表示涉及无穷小的变化，dy/dx 正是微积分术语中导数的符号，这要归功于莱布尼茨，后面我们还会介绍到。

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可以看出来，微积分的问题围绕“曲线”展开。

在之前的文章《围观：阿基米德如何求解圆的面积？》里讲过，“曲线之谜”是当时困扰所有数学家的棘手问题，它也正是“无穷思想”最早出现的领域。

下面，我们就来逐一“解答”这三大问题。

今天，先着手处理第一个问题：已知一条曲线，求它各处的斜率。

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关于斜率，我觉得知道以下三点对理解更有帮助：

1、微积分，这三个字好像跟斜率没有关系？

实际上，微分学的部分，正是研究曲线的斜率问题。



曲线 f(x) 在 x 处的极限斜率，在微积分术语中就称为：函数 f(x) 在 x 处的导数，而动词“求导”，正是求出 f(x) 在曲线任意一点 x 处的极限斜率。

2、试着把斜率看成一个函数，而不是一个固定的数值。

直线的斜率是固定的，而曲线上各点的斜率是变化的。在曲线 f(x) 的每个 x 处，都对应着不同的变化率，也就是不同的斜率。

所以，我们需要习惯，把曲线的斜率看成一个函数，而不是一个固定的数值。

3、斜率为什么重要？

斜率，之所以重要，是因为它是一个衡量变化率的数学概念。变化率是指两个变化量的商，常写作 Δy/Δx 。

它可以回答我们日常生活中的很多问题，比如：

一辆汽车行驶得多快？

2 小时行驶了 120 公里，120 公里 / 2 小时 = 60 公里/小时

我的收入增长有多慢？

半年收入了 600 元，600 元 / 半年 = 100 元/月。

……

变化是我们世界的主旋律，各行各业都需要对变化进行量化和研究，所以微积分的应用非常广泛。

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了解了“斜率”的重要性，下面我们会对中学时学的“斜率”基础知识做一点复习，已经了解的朋友可以跳过这段。

在生活中，当我们爬一个斜坡时，会判断说这个坡很陡，或比较平缓，斜率的概念正是由这个日常经验提炼而来。

凑合看一下我画的这个简单的图，经过原点的这三条直线。



直观来看，图中的三条斜线，其“陡峭”程度不同，直线 1 最陡，直线 2 次之，直线 3 在三者中最为平缓。

这种直观体验，也符合我们对斜率的定义。

我们把斜率定义为：垂直位置变化量 ／ 水平位置变化量。用符号表示：Δy/Δx 。

以下这个图更有代表性，在一条直线上，从 P 点至 Q 点，水平位置变化量为 x2-x1 ，垂直方向位置变化量是 y2-y1 ，所以这条直线的斜率是 (y2-y1) / (x2-x1) 。



另外，我们会发现直线有个特点，其各个点的斜率是相同。



以上图为例，水平距离变化 h ，垂直距离变化 v ，若水平距离变化 2h ，垂直距离则变化 2v ，所以直线的斜率 Δy/Δx = v/h ，是一个固定数值。

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看一个实际的例子：

一辆汽车以 60 公里/小时的速度行驶在公路上。那么，1 小时后它行驶了 60 公里，2 小时后它行驶了 120 公里，t 小时后它行驶了 60t 公里。

这里行驶距离和时间存在以下关系式：y=60t 。其中 y 是汽车在 t 小时后行驶的公里数。



图像 y=60t 的斜率，不随时间 t 的变化而变化，它是一个恒定值，即 Δy/Δx = 60 公里/小时（这里 Δx 是时间 t ），正是这辆车的速度。



这些都很容易理解，难点在于，现实中一辆车的速度是随时变化的，在相同的时间间隔内，行驶的距离是各不相同的，如果用图像表示出行驶距离和时间的关系，这个图像不是一条直线，而是一条曲线。

所以真正的问题来了：一条弯曲的曲线的斜率该如何定义和计算？

核心解决思想是：以直代曲。

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先看曲线上的斜率如何定义？

如果我们用一个放大镜，一个超大倍数放大镜，来观看曲线 f(x) 上的任意一点 (x,y) ，让这个点始终处于视野的中心，我们会看到什么？

随着放大倍数的增大，弯曲的部分看起来会变得越来越直，如果在放大无穷倍的极限情况下（相当于放大了我们感兴趣的那一点周围的一段无穷小的曲线），被放大的那一段曲线应该接近于一条直线。

此时，这条极限直线就会被定义为曲线上那一点的切线，它的斜率也会被定义为那一点的导数。f(x) 的导数，表示为 f '(x)。

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所以，我们的方法是，把一条复杂的曲线切分成无穷小的线段来简化它。

就像阿基米德计算圆周长的方法一样：

他假设圆是一条路径，需要走很多步才能走完全程，每一步都用微小的直线来表示。



随着步数的增加，6 步、12 步、24 步、48 步……每一步步长逐渐缩短，用这些线段拟合圆形曲线路径的精确度就会越来越高。

肉眼看上图这个有 24 个分点的圆，已经不太能分辨出圆形的弧线路径和多边形直线路径之间的出入了。

当然用 24 个分点是远远不够的，多少分点合适呢？理论上来说，自然是分点足够的多，每一段线段足够的短，精确度就越高。所以无穷多个分点，每个线段无穷短，就是我们的理想目标。

你或许会问，无穷短是多短？答案是要多短，有多短，但不为零。

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了解了曲线的斜率定义，下面我们就试着来看看如何得到曲线的斜率，也就是求 f(x) 的导数 f '(x)（还记得我们之前说的吧，曲线的斜率要看作一个随 x 变化的函数）。

显然肉眼无法看到这个理想中的微观世界，没关系，我们继续借助于那个魔法放大镜，放大曲线局部来看看。



就以一个简单的函数 f(x)=x^2 为例来说明，我们知道它对应的是一条抛物线。

首先，把魔法放大镜拿出来，聚焦于曲线上一个微小的点（x,y），

现在，我们在这个点（x,y）非常近的地方再选一个点，设它是（x+Δx，y+Δy）。注意：这个点选的非常近、非常近，也就是说 Δx 很小，有多小？无穷小。（所以此处我们应该用（x+dx、y+dy）才更合适）。

此时，点（x,y）和点（x+Δx，y+Δy）像是在一条直线上，我们需要计算的就是这条小小直线的斜率。

我们按直线的方式求斜率。很显然是：

斜率等于

因为我们想知道曲线上各点的斜率以何种方式取决于 x ，所以我们才把它转换成含有自变量 x 的式子。



这里请注意，创新性的操作出现了。

Δx ，我们取的时候很特别，是个很小的数，小到什么程度？小到无穷小。既然这么小，此处我们就把它忽略不计。

所以此处的斜率最终就简化成了：2x +Δx=2x 。

用微积分的术语来说就是，x^2 导数是 2x 。

（你可能对这种草率的处理方法有异议，先保留，后面我们再讨论）

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看着不难吧！同样的方法，我们来计算 f(x)=x^3 的导数。



此处，我们同样非常草率的忽略掉一些项。

既然 Δx 非常小，那 3xΔx 一定也很小，所以忽略不计，而一个那么小的数的平方就更小了，所以 Δx^2 忽略不计。

所以此处的斜率最终就简化成了：

3x^2+3xΔx+Δx^2 = 3x^2  。

用微积分的术语来说就是：x^3 的导数是 3x^2 。

同样的思路，我们可以计算出所有形如 x^n 的函数的导数是 nx^(n-1) 。

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微积分最被人诟病的地方，或许正是对 Δx 这样一种不严谨的处理。

有时候我们把 Δx 当作一个很小的数正常参与计算，有时候，我们又把它当作 0 ，随意抹掉。

很显然，这种做法欠妥。

这个 Δx ，要么是 0 ，要么不是 0 ，你不能一会当它不是 0 ，过了一会又当它是 0 。

为了解决微积分中存在的如此逻辑不牢靠的问题，在对其进行严格化的进程中，发展出了极限的概念，以及建立在极限思想上的整个分析学。

我看了一眼《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》，在这本书里，牛顿微积分只是序曲，它拉开了分析学的大幕，瞬间看不懂了。

所以，我个人感觉微积分入门不难，但推门进去后的世界却博大精深。

还好，我们只管先入门的事。

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今天就写到这里吧。

总结一下，在直线斜率的基础上，我们了解了曲线斜率的定义，以及通过计算形如xn的导数是nxn-1，来学习基本的求导方法，其核心是无穷小思想的应用。

下一篇，我们计划关注如下这个细节：

在文章上面的求导计算中，我们随意抹掉 Δx 、以及 Δx^2 ，这种操作会造成误差吗？也就是说我们求出的导数是个近似值吗？

看起来好像是，实际上却分毫不差。

正像史蒂夫·斯托加茨在《微积分的力量》中所说，“在无穷远处，一切都变得更简单了”。

为什么会这样？下一篇我们继续。

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