\(\Huge\color{navy}{\textbf{【微积分学教程】中的上下极限}}\)

春风晚霞

     对于〖试问elim，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)谁大？！\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)谁大？！由单增集列\(\{A_n=\{m|m\le n\in\mathbb{N}\}\)，得\(\mathbb{N}=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，3，…，\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)\(\implies\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\)\(\mathbb{N}\)\(\color{red}{错在哪里}?\)\(\color{red}{为什么是错的}?\)若elim说不出个子午卯酉，elim就是反数学，就是畜牲不如!〗
        elim对上面问题作出了如下回答：
     【 \(\{2n\}\)、\(\{10^n\}\)等都是自然数列\(\{n\}\)的子列.它们的极限都是\(Sup\mathbb{N}\)即分析中的\(+\infty\)..定义\(A_n=\{m|n<m\in\mathbb{N}\}\)\((n\in\mathbb{N})\)，则\(\mathbb{N}= \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\ne\)\(\{1,2,3,…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)因为无穷大\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是有限集的基数\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin A_k\)\((\forall k\in\mathbb{N}))\)】
        然而，这个回答elim仍没有说出个子午卯酉,首先\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是可以比较大小的。因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{2n}{n}=2\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{10^n}{n}=\infty\),所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是同阶无穷大，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的高阶无穷大！elim对无穷大的认知还停留在3000多年印度人的对无穷大认知的程度上。所以你无法理解\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)\)是三个不同的自然数。当然你也就不明白你错没错，错在哪里了。
        其次elim的【因为无穷大\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是有限集的基数\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin A_k\)\((\forall k\in\mathbb{N}))\)】的说法是错误的。有限集的基数是可以生成\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的，具体生成过程可参看余希元等著《初等代数研究》P4页定义1：有限集的基数叫做自然数；也可参看张峰陶然著《集合论基础教程》P83页冯\(\cdot\)诺依曼自然数生成法的解读。余希元、张峰他们研究的自然数体系都是由\(\phi\)这个特殊的有限集生成的。康托尔的幂集定理（即连续统假设）不也说明由基数为\(\aleph_0\)生成的自然数有\(2^{\aleph_0}\)个吗？elim,周民强《实变函数论》定义1.8与1.9是自洽的，你由周民强《实变函数论》定义1.8得不到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)只能说明你没有弄懂〖有限集的基数是自然数〗的真正含意！所以你虽然作出了牵强的解释，但你仍没有说出个子午卯酉，所以你仍是畜生不如！