五次方程的宿命：鲁菲尼十三年的孤独与阿贝尔六页的传奇

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五次方程的宿命：鲁菲尼十三年的孤独与阿贝尔六页的传奇

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 10 月 13 日 17:43  广东

在代数学从“古典求解”迈向“现代结构分析”的转折点上，阿贝尔-鲁菲尼定理如同一座不朽的里程碑。它郑重宣告：五次及更高次的多项式方程不存在通用的根式解。这一定理背后，是两位数学天才以截然不同的生命轨迹，共同谱写的理性诗篇。他们的故事，不仅是数学思想的演进史，更是一部关于坚持真理、超越时代局限的动人传奇。

智慧的火种：从求解技艺到结构洞察

方程求解的历程，是人类理性不断突破认知边界的见证。从古巴比伦的泥板到文艺复兴的意大利，数学家们完成了一场跨越三千年的智力接力。



早在公元前 1700 年的古巴比伦泥板与公元三世纪的《九章算术》中，先贤们已掌握了系统的方程数值解法。

至 16 世纪，意大利数学家们掀起了一场代数革命：塔塔利亚（Niccolò Fontana Tartaglia）通过不懈钻研，发现了三次方程的根式解。这一重要成果经卡尔达诺（Gerolamo Cardano）整理，在1545 年的《大术》中公诸于世，彻底打破了“高次方程不可解”的传统认知。更令人振奋的是，卡尔达诺的学生费拉里（Lodovico Ferrari）乘胜追击，通过巧妙的变量替换将四次方程降次，完美解决了四次方程的通解问题。



然而，当数学界沉浸在胜利的喜悦中时，五次方程却成为了一道难以逾越的屏障。从 16 世纪末到 18 世纪末的两个世纪间，包括笛卡尔、牛顿、欧拉在内的数学巨匠们尝试了各种精妙技巧，却始终无法突破这个代数迷宫。牛顿在《广义算术》中坦言：“高次方程的求解需要全新的思路。”这种普遍的挫败感促使数学家们开始反思：或许问题不在于技巧不够高明，而在于五次方程本身具有某种根本性的限制。



1770 年，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）发表《关于代数方程解法的思考》，提出了革命性的观点：“方程的可解性本质在于其根的对称性。”通过对低次方程求解过程的系统性分析，他洞察到一个深刻规律：为了得到一般五次方程的代数解，必须找到一个三次或四次预解方程。这一洞见为后续的突破指明了方向。

孤独的先知：鲁菲尼与他的十三年坚守

当拉格朗日的思想在欧洲学界引起回响时，在意大利古城摩德纳，一位身兼数职的学者正在灯下沉思。保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini）——这位同时拥有数学、医学、哲学三个学位的天才，白天在医院救治病人，晚上则在书斋里探索数学的奥秘。这种跨学科的思维训练，赋予他独特的洞察力。



鲁菲尼的突破性思想源于对拉格朗日论文的深入研读。在仔细分析转换未知量多项式的可能取值后，他得出了令人震惊的结论：对于一般五次方程，不可能得到一个三次或四次预解方程。这一发现直接指向了拉格朗日理论的核心矛盾。1799 年，鲁菲尼完成了他的第一个证明，这一时间点甚至早于高斯相关论文的发表。然而，这位严谨的学者意识到证明中存在细微缺陷，于是开始了长达十三年的完善之路。他在 1803 年、1808 年和 1813 年连续发表了三个更加完善的证明，每一次都在前一次的基础上进行精心改进。

鲁菲尼证明的核心逻辑体现在三个层面：首先，他通过精细的置换分析证明，五次方程的对称群 S5 是一个不可解群；其次，他对预解式的分析达到了前所未有的深度，证明在任何情况下，五次方程的预解式都无法实现有效的降次；最后，他将这些发现整合为严密的逻辑体系，得出了不可解性的最终结论。

然而，先知在自己的时代往往孤独。或许因为鲁菲尼的名气不够大，或许因为他的证明过于超前，这些重要成果竟无人问津。从 1799 年到 1812 年，鲁菲尼将他的证明反复修改完善，先后投递给包括拉格朗日本人在内的欧洲顶尖数学家和学术机构。这段持续十三年的坚持，换来的却是更深的误解与拒绝。拉格朗日在回信中直言：“你的思路太离奇，我无法理解。”法国科学院的评审报告更是武断地宣称：“五次方程不可解是不可能的，你一定在某个地方犯了错误。”



颇具历史讽刺意味的是，这位五次方程的征服者，在数学的另一领域却获得了意外的认可。他在研究多项式理论时发明的多项式除法快速算法（即通过系数表快速计算多项式在某点的值，或分解因式），后来被命名为“鲁菲尼-霍纳法则”。更令人感慨的是，这一算法与我国宋代数学家秦九韶（Qin Jiushao）在 1247 年《数书九章》中提出的正负开方术（即后来国际上公认的“秦九韶算法”）惊人相似，成为数学史上跨时空智慧共鸣的典范。

天才的光芒：阿贝尔的完善与悲剧

当鲁菲尼在意大利孤独坚守时，在遥远的挪威，一个贫困的年轻人正在与命运抗争。尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）来自奥斯陆附近的乡村，在父亲早逝后不得不挑起家庭重担。16 岁的他靠着家教维持生计，却在油灯下自学掌握了欧拉、拉格朗日的著作。



1824 年，22 岁的阿贝尔在研读鲁菲尼著作时，敏锐地发现了其中的漏洞。他意识到，鲁菲尼的证明缺乏对“数域”概念的严格定义。

阿贝尔的决定性贡献在于，他用三年时间建立了一套严谨的域扩张理论。

在 1823 年的冬天，他在奥斯陆的狭小公寓里完成了证明的核心部分。他的创新突出体现在：他将根式解严格表述为从有理数域出发的塔式根式扩张，他证明了每一步扩张的维数必须整除相应的开方次数，他严格建立了 S5 的不可解性与方程不可解性之间的对应关系。即：



他严格建立了 S5 的不可解性与方程不可解性之间的对应关系。通过分析根的置换在域扩张中的行为，他证明任何根式扩张链对应的伽罗瓦群都是可解群，而 S5 却不具备这个性质。



1824 年，22 岁的阿贝尔完成了他的杰作《论代数方程，证明一般五次方程不可解》。由于贫困，他只能自费将证明压缩成一本仅 6 页的小册子。这本文本简练却思想深刻的著作，先是被高斯（Carl Friedrich Gauss）以“年轻人的胡闹”为由搁置，后又被柯西（Augustin-Louis Cauchy）“不慎遗失”。这些学术权威的忽视，使得这一划时代的成果被延误了整整两年。  

阿贝尔的成果为后来的伽罗瓦（Evariste Galois，1811-1832）提供了重要启发，但伽罗瓦理论所揭示的方程根式可解和不可解的本质区别，即群论与域扩张之间的深刻对应关系，并未在阿贝尔的工作中体现。  

迟来的认可与历史的反思

在鲁菲尼生命的最后时刻，这位坚持不懈的学者终于获得了一丝慰藉。1822 年，就在他去世前不久，大数学家柯西在一篇书评中肯定了他的工作价值。正是由于柯西的这次出手相助，鲁菲尼的名字才得以在阿贝尔—鲁菲尼定理中保留下来，使这位孤独的先知终于在数学史上获得了应有的地位。  



而阿贝尔的悲剧则更加令人扼腕。1829 年，当这位天才在贫病交加中温然长逝时，他的才华才刚刚开始被欧洲数学界认识。他去世三天后，柏林大学的教授聘书抵达；次年，法国科学院追授其最高荣誉。命运的无情讽刺在于，当整个数学界终于认识到他工作的价值时，这位天才已经永远地离开了人世。  

历史的教训深刻而沉重。鲁菲尼持续十三年的坚持与阿贝尔短暂而灿烂的学术生命，共同揭示了科学进步过程中的一个残酷现实：创新性的思想往往需要经历漫长的等待才能获得认可。高斯虽然直觉敏锐地意识到了五次方程的不可解性，却未能完成证明；鲁菲尼完成了证明的核心工作，却因表达方式和学术地位的局限而被忽视；阿贝尔以完美的形式完成了证明的最后一环，却因贫困和权威的偏见而无法在生前获得应有的荣誉。  

而阿贝尔的成果还间接启发了伽罗瓦，后者在 1832 年创立群论，彻底解决了“方程可解性”的根本问题，将阿贝尔—鲁菲尼定理纳入更宏大的伽罗瓦理论框架。然而，伽罗瓦在世时（1811-1832 年）所使用的定义和记号与我们如今所使用的有巨大差别，直接看是很难理解的。而且，伽罗瓦一共只留下了 60 页论文，他的成果失散严重而且部分内容很仓促。

1827 年、1830 年和 1831 年，伽罗瓦三次提交了关于高次方程代数解的论文，但都没能成功发表，甚至原稿遗失。我们如今见到的伽罗瓦理论与伽罗瓦生前的版本有很大差异。在伽罗瓦身亡十多年后，得益于刘维尔、若尔当、戴德金、阿廷等 20 多位大师的整理和出版，才有我们现在看到的成果。  



这两位数学家的经历提醒我们，在评价创新性工作时，应该更多关注思想的深度而非形式的外表，更多重视内在的逻辑而非权威的意见。科学的发展需要开放的心态和包容的学术环境，需要学者们能够超越个人成见，以真理为唯一导向。  

今天，当我们学习近世代数中的伽罗瓦理论时，鲁菲尼与阿贝尔的思想依然在其中闪耀。从鲁菲尼最初的群论意识到阿贝尔严格的域扩张理论，再到伽罗瓦完善的群域对应，这条思想脉络清晰地展示了数学思想的演进历程。阿贝尔—鲁菲尼定理不仅是一个数学结论，更是科学精神的象征——它告诉我们，真理可能会被暂时忽视，但永远不会被永远埋没。  

在这个定理背后，我们看到的不仅是数学思想的升华，更是人类理性面对困难时展现的勇气和坚持。正如阿贝尔在生命最后时刻所说：“数学家的使命不是等待灵感的降临，而是在漫长的黑夜中持续前行，直到真理的曙光最终到来。”这或许是对他们一生最好的总结，也是对后来者最珍贵的启示。



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