代数学基本定理的历史

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代数学基本定理的历史

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 10 月 12 日 10:27  江苏

代数学基本定理的内容

现在我们通常有多种方式来表述代数学基本定理：

1. 每个复系数多项式都有至少一个复根。

2. 每个复系数的 n 次多项式共有 n 个复根（计入重根）。

3. 每个复系数的 n 次多项式可以表示为一次因式的乘积（使用复根）。

4. 复数域是代数封闭的。

从历史上看，寻找多项式的根一直是经典代数和现代代数研究的动力。


Al-Khwarizmi（790–850）


Fibonacci（1170–1250）

古老的历史



关于古代数学发展的更多细节，包括欧几里得的数论、以及“阿拉伯数字”的引入（由花剌子米和斐波那契所推动），大家可以在网络上寻找到更多的资料。


Tartaglia（1500–1557）


Cardano（1501–1576)

大约在 1530 年，尼科洛·塔塔利亚（Niccolò Tartaglia）发现了三次多项式根的公式。

1545 年，吉罗拉莫·卡尔丹诺（Gerolamo Cardano）在其著作《大术》（Ars Magna）中发表了这一公式（这也引发了塔塔利亚与卡尔丹诺之间的“争论”）。

1540 年，卢多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）又找到了四次方程的求根公式。




Abel（1802–1829）


Galois（1811–1832）

三次方程与四次方程求根公式的相继发现，让许多人一度认为，对于任意  n 次多项式的根，也能找到一个通用的代数公式。

然而，尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）在 1821 年证明了五次方程的不可解性， 而随后埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）的研究进一步揭示，对于五次及以上的多项式方程，不存在这样的代数求根公式。


Albert Girard（1595–1632）


Gottfried Leibniz（1646–1716）


Leonhard Euler（1707–1783）


Jean d'Alembert（1717–1783）

最早明确提出“一个 n 次多项式方程有 n 个解”的人是阿尔贝·吉拉尔（Albert Girard，1595–1632）。1629 年，他在著作 L'invention Nouvelle en l'Algèbre 中提出了这一观点。然而，他并未理解复数的本质，这一误解对后续的研究产生了重要影响。

事实上，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646–1716）曾声称自己证明了代数学基本定理是错误的，他以  x^4+t^4 为例，认为该式无法写成两个实二次因式的乘积。他的错误同样源于对复数的误解。

1742 年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707–1783）指出莱布尼茨的例子并不正确。1746 年，若望·勒龙·达朗贝尔（Jean Le Rond D'Alembert，1717–1783）首次对代数学基本定理进行了严肃的证明尝试，但他的证明仍存在若干缺陷。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）证明了任意次数不超过 6 的实系数多项式都有恰好 n 个复根。1749 年，欧拉尝试对一般 n 次多项式给出证明，但他的论证略显粗略。1772 年，约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）对欧拉的证明提出了异议。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749–1827）于 1795 年尝试采用一种完全不同的方法，通过多项式的判别式来证明代数学基本定理（FTA）。他的证明非常优雅，但唯一的问题在于——他仍然假设了根的存在性。



高斯（Gauss）的第一次证明出现在他的博士论文中，是一种几何证明方法，其思想依赖于由多项式定义的两条曲线的交点。在他的第二次证明中，他放弃了几何论证，但给出的论证仍然未达到当时的严格标准。第三次证明基于柯西（Cauchy）定理，因此也依托于当时正在发展的复变函数理论。

第四次证明与第一次证明相似，收录于 Werke, 3, 73–102（原刊于 Abhand. der Ges. der Wiss. zu Gott., 4, 1848/50）。高斯的这些证明并非完全一般化，因为前三次证明都假设多项式的系数为实数。第四次证明则扩展到了具有复系数的多项式。

高斯的工作具有划时代的意义——他在未实际求出多项式根的情况下，就证明了根的存在性。


Joseph Liouville（1809–1882）

迄今为止，最简便的证明基于路易维尔（Liouville）定理（与高斯的第三次证明一样，同样依赖于柯西定理）。路易维尔定理由他在 1847 年发表的论文 “Lecon sur les fonctions doublement périodiques ,” Journal für Mathematik , 第 88 卷第 4 期，277–310 页中提出。

目前并不存在纯粹代数意义上的代数学基本定理证明（参见 A History of Abstract Algebra, Israel Kleiner, Birkhauser, 2007，第 12 页）。

有一些证明主要是代数性的，但仍然借助了分析学中的结果（例如 Hungerford 给出的证明）。

然而，如果我们打算使用分析学的结论，那么最简便的方法就是利用复分析中的路易维尔（Liouville）定理。

这引出了一个哲学性的问题：这样的定理是否仍然有资格被称为“代数学基本定理”？也许更恰当的称呼应当是“路易维尔推论”！

具有复系数的多项式最适合被视为特殊的解析函数（解析函数即可以用幂级数表示的函数），因此更应在复分析的领域中加以研究。

所谓的“代数学基本定理”实际上只是复解析函数理论中一个具有中等重要性的结果。毕竟，从现代意义上讲，代数学并不主要研究多项式（尽管它仍然是代数的一个组成部分），而是研究群（groups）、环（rings）与域（fields）的理论！



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