已知 a,b,c 为正实数，a + b + c = 3 ，求 f = a^2 b + b^2 c + c^2 a 的最小值

wintex

請問錯在那

luyuanhong

第 1 楼中的推导，用 Cauchy 不等式，得出：

a^2b+b^2c+c^2a 与 1/b+1/c+1/a 的乘积大于等于 9 ，这没有错。

但说由此可得 a^2b+b^2c+c^2a 的最小值就是 3 ，理由就不充足了。

举例说，如果 a^2b+b^2c+c^2a 与 1/b+1/c+1/a 的乘积大于 9 等于 10 ，

其中 a^2b+b^2c+c^2a 等于 2 ，1/b+1/c+1/a 等于 5 ，这样，

a^2b+b^2c+c^2a 的最小值就不是 3 了。

要肯定 a^2b+b^2c+c^2a 最小值就是 3 ，就要把上面这种情况排除掉，

如果不能排除掉这种情况，第 1 楼中的推导就是有问题的。

波斯猫猫

已知 a,b,c 为正实数，a + b + c = 3 ，求 f = a^2 b + b^2 c + c^2 a 的最小值
取a=3/2 ,b=1/2 ,c=1 ,a^2 b + b^2 c + c^2 a=9/8+2/8+12/8=23/8＜3

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！

我原来用 Lagrange 乘子法求解，误以为最小值就是 3 ，实际上只是取值范围内的驻点值，忽略了取值范围的边界值。

现对我的解法作了修改，重新解答如下：

波斯猫猫

函数 f(x)=x^2 (x≠0) 的最小值？

luyuanhong

波斯猫猫 发表于 2025-10-23 10:24
函数 f(x)=x^2 (x≠0) 的最小值？

函数 f(x)=x^2 (x≠0) 的最小值可以无限趋于 0 。