处处为零积分值不为零的函数

常量

函数处处为零时，其积分值必然为零，这是因为积分可以理解为函数曲线和水平轴之间的面积，如果函数值在所有点上都为零，那么这个面积自然为零。果然如此吗？未必！存在这样的函数，其积分值并不为零。

Future_maths

在标准函数论中，如果函数f(x) 在积分区间上处处为零，那么其积分值必然为零。任何声称相反的例子要么涉及非标准概念（如广义函数），要么是对函数序列极限的误解。

常量

是的，这是广义函数

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一些帖子，可供参考：

对于一般学习和使用数学的人来说，特别是对于工程技术人员来说，都习惯于把 δ(x)

当作一个普通的函数来处理和使用，觉得这样很方便。

但是，按照严格的标准的数学分析的观点来看，δ(x) 不能看作是一个函数，只能看作是

一个泛函。

可是，如果真的把 δ(x) 写成泛函的形式，严格按照泛函的定义来处理和使用，对于一般

学习和使用数学的人，特别是对于工程技术人员来说，又觉得非常不方便，非常不习惯。

所以，在目前大多数的数学书中，又不得不把 δ(x) 写成普通的函数的形式。

这个矛盾，在非标准分析中可以得到很好的解决。

按照非标准分析的观点，δ(x) 可以看作是一个在定义式中包含超实数的“超实函数”。

既然 δ(x) 可以看作是函数，那么，在非标准分析中，δ(x) 当然可以写成函数的形式，

就可以很方便的作为函数来处理和使用了。

luyuanhong

常量

谢谢陆教授，请问还有没有更多类似Delta函数的？

luyuanhong

常量 发表于 2025-11-25 08:49
谢谢陆教授，请问还有没有更多类似Delta函数的？

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

常量

我觉得，任意的初等函数，可以构造出Delta函数