趣味题】求曲率圆

dodonaomikiki

曲线与直线y=x有一个交点：\(                （\frac{1}{2\sqrt{2}},         \frac{1}{2\sqrt{2}}          ）                 \)
求曲线在这个点的曲率圆

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先行计算y的一阶导数，二阶导数

\(

\boldsymbol{           \displaystyle{          计算过程中，用x=y=\sqrt{1/8}   代入                     }}    \\





      \boldsymbol{           \displaystyle{              2/3x^{-1/3}+2/3y'=0              }}     \\
                   \boldsymbol{           \displaystyle{        y'=\frac{- x^{-1/3}  }{y}                     }}      \\
           \boldsymbol{           \displaystyle{               =\frac{- 0.5^{ 3/2 \bullet (-1/3)  }  }{0,5^{3/2}}                      }}     \\
          \boldsymbol{           \displaystyle{               =\frac{-0.5^{-0.5}}{    0.5^{3/2}}                    }}       \\
       \boldsymbol{           \displaystyle{                     =-0.5^{-1/2-3/2}                   }}        \\
         \boldsymbol{           \displaystyle{              =-0.5^{-2}                     }}      \\
          \boldsymbol{           \displaystyle{                =-4                     }}      \\

...\)

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y的二阶导数

\(

      \boldsymbol{           \displaystyle{                         y''= -   \frac{ -1/3x^{-4/3}y-x^{-1/3}y'                        }{              y^2}                }}                       \\


        \boldsymbol{           \displaystyle{                        =   \frac{ 1/3x^{-4/3}y+x^{-1/3}y'                        }{              y^2}                   }}                \\

        \boldsymbol{           \displaystyle{                       =   \frac{ x^{-1/3}  /3-4x^{-1/3}                        }{         1/8   }                    }}               \\



         

  

        \boldsymbol{           \displaystyle{                  =8(    -11/3   \bullet   0,5^{3/2       \bullet    -1/3}                          )                       }}            \\
             \boldsymbol{           \displaystyle{               = -88/3  \sqrt{2}                    }}                \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            =8   \bullet     \frac{-11}{3}  \bullet   0,5^{   \frac{-1}{2}}        }}            \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            = \frac{-88}{3}  \bullet \sqrt{2}        }}            \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{            = \frac{-88\sqrt{2}}{3}          }}            \\

...\)

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在计算    曲率圆的中心点坐标：

\(
  \boldsymbol{           \displaystyle{              x=0.5^{3/2}-\frac{ -4(1+16)    }{-88\sqrt{2}}    \bullet   3                }}        \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   6\sqrt{2}     \bullet  17  }{     88}                           }}           \\


  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   17\sqrt{2}     \bullet  3  }{     88}                        }}              \\



  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{   51\sqrt{2}    }{     88}                         }}             \\



在计算纵坐标：                 \\
  \boldsymbol{           \displaystyle{              y=0.5^{3/2}-\frac{ 1+16    }{-88\sqrt{2}}    \bullet   3                       }}          \\

  \boldsymbol{           \displaystyle{              =\frac{   \sqrt{2} }{4}+\frac{  -51  }{     88\sqrt{2}   }                          }}            \\



...\)

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在计算曲率圆的半径


\(

\boldsymbol{           \displaystyle{     \rho=1/K=  \frac{   [  1+y'^{2}   ]^{3/2   }         }{   |y''|}                                }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ (1+16) ^{3/2 }           }{  \frac{   |-88\sqrt{2}}{3}     |   }                               }}     \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ 3   \bullet    \sqrt{17}   \bullet    17      }{ 88\sqrt{2}  }                             }}       \\
\boldsymbol{           \displaystyle{     =\frac{ 51   \sqrt{17}     }{ 88\sqrt{2}  }                           }}         \\


...\)

dodonaomikiki

计算肯定发生拉错误！


望大师们指正