901数系中的素数和倒数循环节长度

yangchuanju

当指数n是6,10,14,22,26……2p时，首因子是91，9091，909091，9090909091，909090909091……；由(n-2)/4-1个90和1个91组成；
另当n=18时，虽10^18-1除以9*11*111得90909091，但90909091不是10^18-1的首因子（分圆多项式）；需再除以91和3*333667得到999001才是10^18-1的首因子；
n=30,42,50…等非2p型整数时类似。

当指数n是15,21,33,39,51,57……3p时，首因子是90090991——8位，900900990991——12位，90090090090990990991——20位，900900900900990990990991——24位，90090090090090090990990990990991——32位，900900900900900900990990990990990991——36位……
另当n=27时，虽10^27-1除以9*37*333667得9000000009000000009，但9000000009000000009不是10^27-1的首因子（分圆多项式）；需再除以3*3得到1000000001000000001才是10^27-1的首因子；
当n=45时，虽10^45-1除以9*111*11111*(3*333667)得90000900099000990099900999099991，但它不是10^45-1的首因子（分圆多项式）；需再除以31*2906161得到999000000999000999999001才是10^45-1的首因子；
n=63,75…等非3p型整数时类似。

当指数n是35,55,65,85,95……时，首因子是900009090090909909099991——24位，9000090000990009900099900999009999099991——40位，900009000090090900909009099090990909909999099991——48位， 9000090000900009090090900909009090990909909099090999909999099991——64位，900009000090000900099000990009900099009990099900999009990999909999099991——72位，
……

当指数n是77,91,119,133……时，首因子是900000090009009000900990090099009909900990999099099909999991——60位， 900000090000099000009900009990000999000999900099990099999009999909999991——72位， 900000090000009009000900900090090099009009900900990990099099009909909990990999099099999909999991——96位，900000090000009000090900009090000909009090900909090090909909090990909099090999909099990909999099999909999991——108位
……

yangchuanju

10^n-1中首次出现的首因子（分圆多项式）及分解式       
1 9        3*3
2 11        p
3 111        3*37
4 101        p
5 11111        41*271
6 91        7*13
7 1111111        239*4649
8 10001        73*137
9 1001001        3*333667
10 9091        p
11 11111111111        21649*513239
12 9901        p
13 1111111111111        53*79*265371653
14 909091        p
15 90090991        31*2906161
16 100000001        17*5882353
17 11111111111111111         2071723*5363222357<10>
18 999001        19*52579
19 1111111111111111111        p
20 99009901        3541*27961
21 900900990991        43*1933*10838689
22 9090909091        11*23*4093*8779
23 11111111111111111111111        p
24 99990001        p
25 100001000010000100001        21401*25601*182521213001
26 909090909091        859*1058313049
27 1000000001000000001        3*757*440334654777631
28 990099009901        29*281*121499449
29 11111111111111111111111111111        3191*16763*43037*62003*77843839397
30 109889011        211*241*2161
31 1111111111111111111111111111111        2791*6943319*57336415063790604359
32 10000000000000001        353*449*641*1409*69857
33 90090090090990990991        67*1344628210313298373
34 9090909090909091        103*4013*21993833369
35 900009090090909909099991        71*123551*102598800232111471
36 999999000001        p
37 1111111111111111111111111111111111111        2028119*247629013*2212394296770203368013
38 909090909090909091        p
39 900900900900990990990991        p
40 9999000099990001        1676321*5964848081
41 11111111111111111111111111111111111111111        83*1231*538987*201763709900322803748657942361
42 1098900989011        7*127*2689*459691
43 1111111111111111111111111111111111111111111        173*1527791*1963506722254397*2140992015395526641
44 99009900990099009901        89*1052788969*1056689261
45 999000000999000999999001        238681*4185502830133110721
46 9090909090909090909091        47*139*2531*549797184491917
47 11111111111111111111111111111111111111111111111        35121409*316362908763458525001406154038726382279
48 9999999900000001        p
49 1000000100000010000001000000100000010000001        505885997*1976730144598190963568023014679333
50 99999000009999900001        251*5051*78875943472201
51 90090090090090090990990990990991        613*210631*52986961*13168164561429877
52 990099009900990099009901        521*1900381976777332243781
53 11111111111111111111111111111111111111111111111111111        107*1659431*1325815267337711173*47198858799491425660200071
54 999999999000000001        70541929*14175966169
55 9000090000990009900099900999009999099991        1321*62921*83251631*1300635692678058358830121
56 999900009999000099990001        7841*127522001020150503761
57 900900900900900900990990990990990991        21319*10749631*3931123022305129377976519
58 9090909090909090909090909091        59*154083204930662557781201849
59 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        2559647034361*4340876285657460212144534289928559826755746751
60 10099989899000101        61*4188901*39526741
61 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        733*4637*329401*974293*1360682471*106007173861643*7061709990156159479
62 909090909090909090909090909091        p
63 999000000999000000999999000999999001        10837*23311*45613*45121231*1921436048294281
64 100000000000000000000000000000001        19841*976193*6187457*834427406578561
65 900009000090090900909009099090990909909999099991        162503518711*5538396997364024056286510640780600481
66 109890109889010989011        599144041*183411838171
67 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        493121*79863595778924342083*28213380943176667001263153660999177245677
68 99009900990099009900990099009901        28559389*1491383821*2324557465671829
69 90090090090090090090090990990990990990990991        277*203864078068831*1595352086329224644348978893
70 1099988890111109888900011        4147571*265212793249617641
71 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        241573142393627673576957439049<30>*45994811347886846310221728895223034301839<41>
72 999999999999000000000001        3169*98641*3199044596370769
73 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        12171337159<11>*1855193842151350117<19>*49207341634646326934001739482502131487446637<44>
74 909090909090909090909090909090909091        7253*422650073734453*296557347313446299
75 9999900000000009999900000999999999900001        151*4201*15763985553739191709164170940063151
76 990099009900990099009900990099009901        722817036322379041*1369778187490592461
77 900000090009009000900990090099009909900990999099099909999991        5237*42043* 29920507*136614668576002329371496447555915740910181043
78 1098901098900989010989011        13*157*6397*216451*388847808493
79 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111         317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769<20> · 3660574762725521461527140564875080461079917<43>
80 99999999000000009999999900000001        5070721*19721061166646717498359681
81 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001        3*163*9397*2462401*676421558270641*130654897808007778425046117
82 9090909090909090909090909090909090909091        2670502781396266997*3404193829806058997303
83 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        3367147378267<13> · 9512538508624154373682136329<28> · 346895716385857804544741137394505425384477<42>
84 1009998990000999899000101        226549*4458192223320340849
85 9000090000900009090090900909009090990909909099090999909999099991        262533041*8119594779271*4222100119405530170179331190291488789678081
86 909090909090909090909090909090909090909091        57009401*2182600451*7306116556571817748755241
87 90090090090090090090090090090990990990990990990990990991        4003*72559*310170251658029759045157793237339498342763245483
88 9999000099990000999900009999000099990001        617*16205834846012967584927082656402106953
89 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111        497867 · 103733951 · 104984505733<12> · 5078554966026315671444089<25> · 403513310222809053284932818475878953159<39>
90 1000999998998999000001001        29611*3762091*8985695684401

重生888@

yangchuanju 发表于 2025-11-2 06:19
10^n-1中首次出现的首因子（分圆多项式）及分解式       
1 9        3*3
2 11        p

杨老弟又在帮谁打工了？希望年青的朋友收藏起来，不定哪天有用处！但不要忘记杨传举先生！

yangchuanju

在10^n-1的分解式中，
首因子中的素因子及复合因子的倒数循环节长等于指数n；
当首因子是一个素数时，它是倒数循环节长等于n的唯一素数。

在10^n-1的分解式中，涵盖了除素数2和5以外的所有素数；
任意给定一个2和5以外的素数，它总是某个10^n-1型整数（全部是合数）的一个素因子；
或是10^n-1型整数的首因子（分圆多项式）或首因子的一个素因子；
只要知道了给定素数的倒数循环节长度d，把求得的长度d作为10^n-1的指数，其中必然含有给定的素因子。
任意给定一个不含素因子2和5的合数，它的分解式是唯一的；
首先求出给定合数的各个素因子或幂的倒数循环节长度，再求出各个长度的最小公倍数，
以所求最小公倍数为指数，其中一定含有给定的合数（复合因子）。

10^n-1型整数的首因子（分圆多项式）可能是清一色111…1型整数（当指数n是素数时）；
可能是全由1和0组成的整数101,10001,1001001等；
也可能是由9,0和1组成的整数9091,909091,9901等；
以及其它型整数，例phi(10,42)=1098900989011等。