一个两位数 10a+b 的平方的末两位是 10a+b ，求这个两位数

白新岭

一个2位数的平方末两位是这个数，即\(（10a+b）^2=100a^2+20ab+b^2\)，也就是20ab+b^2末两位是10a+b（因为100a^2对它的末两位数字没有影响）。
求这个两位数是几。

王守恩

A003226——Automorphic numbers: m^2 ends with m.

1,  5,  6,  25, 76,  376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625,
40081787109376,  59918212890625,  259918212890625,  740081787109376,  3740081787109376,  6259918212890625,  43740081787109376,  56259918212890625,  256259918212890625, 743740081787109376,
2256259918212890625, 7743740081787109376, 92256259918212890625, 392256259918212890625, 607743740081787109376, 2607743740081787109376, 7392256259918212890625, 22607743740081787109376,
77392256259918212890625, 977392256259918212890625, 9977392256259918212890625, 19977392256259918212890625, 80022607743740081787109376, 380022607743740081787109376, ......}

Union[{1}, Table[PowerMod[16, 5^n, 10^n], {n, 25}], Table[PowerMod[5, 2^n, 10^n], {n, 25}]]

白新岭

我是一个偶然机会发现这个问题的。就是一个帖子的浏览量是5776，开方后为76，这是发帖原因，没想到网上已经有现成的。使视野大开。

luyuanhong

波斯猫猫

题：一个两位数 10a+b 的平方的末两位是10a+b，
求这个两位数.
思路：∵ ( 10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2，
∴ 20ab+b^2=100k+10a+b，(k∈Z，且k≥0)
即a=(100k+b-b^2)/(20b-10) .
因平方后个位数不变的个位是：0，1，5，6，
当b=0时，a=-10k≤0 .                      (x)
当b=1时，a=10k≠0,10,20,30,..90.    (x)
当b=5时，a=(10k-2)/9=2 ,          (k=2)  
这时，两位10a+b=25.
当b=6时，a=(10k-3)/11=7,         (k=8)  
这时，两位10a+b=76.

王守恩

A003226——Automorphic numbers: m^2 ends with m.

1,  5,  6,  25, 76,  376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625,
40081787109376,  59918212890625,  259918212890625,  740081787109376,  3740081787109376,  6259918212890625,  43740081787109376,  56259918212890625,  256259918212890625, 743740081787109376,
2256259918212890625, 7743740081787109376, 92256259918212890625, 392256259918212890625, 607743740081787109376, 2607743740081787109376, 7392256259918212890625, 22607743740081787109376,
77392256259918212890625, 977392256259918212890625, 9977392256259918212890625, 19977392256259918212890625, 80022607743740081787109376, 380022607743740081787109376, ......}

Union[{1}, Table[PowerMod[16, 5^n, 10^n], {n, 27}], Table[PowerMod[5, 2^n, 10^n], {n, 99}]]——代码是长一些。但它是在 "生成" 答案。10^99, 电脑很快就出来了。

{1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376}

Select[Range[10^8], PowerMod[#, 2, 10^IntegerLength[#]] == # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。

典型的数学优化胜过工程优化的案例。 体现了：理解问题的数学结构往往能带来数量级的性能提升！

再来2个也不行。——OEIS不会给你说这些。

Select[Range[10^8], Mod[#^2, 10^Ceiling[Log10[#]]] == # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。

Select[Range[10^8], 10^IntegerExponent[#^2 - #, 10] > # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。