√2=p/q（p，q互质）有真假吗？

yangls728

√2=p/q（p，q互质）有真假吗？
杨六省
yangls728@163.com
人教版（2024）数学七年级下册第58页写道：“假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得p/q=√2”，也就是说，假设√2是有理数，则有√2=p/q（p，q互质）（注：此写法见北师大版八年级上册第24页，2014年第2版）。
下面我们用反证法来证明√2=p/q（p，q互质）无真假：假设√2=p/q（p，q互质）为真，则√2=p/q（p，q 都是整数）为真，这与“√2不是有理数”的反论题“√2=p/q（p，q 都是整数）”为假矛盾；假设√2=p/q（p，q互质）为假，即√2=p/q（p，q非互质）为真，则√2=p/q（p，q 都是整数）为真，同样与√2=p/q（p，q 都是整数）为假矛盾，故√2=p/q（p，q互质）既不能为真也不能为假。
原论题与反论题必须是一真一假的矛盾关系。既然√2=p/q（p，q互质）无真假，所以，它不能作为“√2不是有理数”的反论题，也就是说，用√2=p/q（p，q互质）不能代替√2=p/q（p，q 都是整数），换一种说法，从√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q互质）。所以，教科书把“√2不是有理数”的反论题“√2=p/q（p，q 都是整数）”表成“√2=p/q（p，q互质）”是错误的。
仅凭上述这一个错误即可说明教科书对√2不是有理数的论证逻辑链是断裂的，因而其论证是无效的。

elim

楼主年纪不小了吧? 看着老痴得挺厉害啊, 呵呵
令\(\scriptsize\mathbb{Q}=\{{\frac{p}{q}}\mid p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\},\mathbb{Q}’= \{{\frac{p}{q}}\mid p,q\in \mathbb{Z},q\ge\gcd(p,q)> 0\}\)
易见\(\scriptsize\mathbb{Q}’\subset\mathbb{Q}\). 对\(\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}\)令\(p’=\frac{p}{\gcd(p,q)},q’=\frac{q}{\gcd(p,q)}\)
因 \(\small q\ne 0,\;\gcd(p,q)>0,\;q’\ge\gcd(p’,q’)=1>0\) 于是
\(\frac{p}{q}=\frac{p’}{q’}\in\mathbb{Q}’\). 所以 \(\mathbb{Q}= \mathbb{Q}’.\)